Question

13．火星與地球的質(zhì)量之比為a，半徑之比為b，下列說法中正確的是（　�。�

• A． 火星表面的第一宇宙速度與地球表面第一宇宙速度之比為 $\sqrt{\frac{a}}$
• B． 火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為$\frac{a}{^{2}}$
• C． 火星表面附近運動的衛(wèi)星與地球表面附近運動的衛(wèi)星周期之比為$\sqrt{\frac{a}}$
• D． 火星和地球上空運行的衛(wèi)星其$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$ 的比值為$\frac{1}{a}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力與星球表面重力相等分別列式分析第一宇宙速度和重力加速度、近地衛(wèi)星的周期的表達式并由半徑和質(zhì)量關(guān)系進行分析．

解答 解：A、第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的運行速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
得星球的第一宇宙速度：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，所以$\frac{{v}_{火}}{{v}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}}$=$\sqrt{\frac{a}}$，故A正確；
B、星球表面重力與萬有引力相等有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，可得星球的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，所以$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}$•（$\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}$）²=$\frac{a}{^{2}}$，故B正確；
C、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，可得近地衛(wèi)星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，所以$\frac{{T}_{火}}{{T}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{地}}{{M}_{火}}•（\frac{{R}_{火}}{{R}_{地}}）^{3}}$=$\sqrt{\frac{^{3}}{a}}$，故C錯誤；
D、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，可得衛(wèi)星的$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$，即$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$的值與星球的質(zhì)量M成正比，故火星和地球上空運行的衛(wèi)星其$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$ 的比值k為：
k=$\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}$=a，故D錯誤．
故選：AB．

點評 解決本題的關(guān)鍵是抓住萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求得描述圓周運動的物理量與中心天體的質(zhì)量和半徑的關(guān)系，掌握相關(guān)規(guī)律是正確解題的基礎(chǔ)．