Question

15．如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)豎直固定，質(zhì)量為3m的小球A套在圓環(huán)上；長(zhǎng)為2R的剛性（既不伸長(zhǎng)也不縮短）輕桿一端通過鉸鏈與A連接，另一端通過鉸鏈與滑塊B連接；滑塊B質(zhì)量為m，套在水平固定的光滑桿上．水平桿與圓環(huán)的圓心O位于同一水平線上．現(xiàn)將A置于圓環(huán)的最高處并給A-微小擾動(dòng)（初速度視為0），使A沿圓環(huán)順時(shí)針自由下滑，不計(jì)一切摩擦，A、B均視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g．求：
（1）A滑到與圓心O同高度時(shí)的速度大��；
（2）A下滑至桿與圓環(huán)第一次相切的過程中，桿對(duì)B做的功．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)A滑到與O同高度時(shí)，A的速度沿圓環(huán)切向向下，B的速度為零，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒，求出A滑到與圓心O同高度時(shí)的速度大�。�
（2）A下滑至桿與圓環(huán)第一次相切時(shí)，A的速度沿桿的方向，抓住A、B沿桿方向的分速度相等，結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出B的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出桿對(duì)B做的功．

解答 解：（1）當(dāng)A滑到與O同高度時(shí)，A的速度沿圓環(huán)切向向下，B的速度為0，由機(jī)械能守恒定律得：
$3mgR=\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2gR}$．
（2）桿與圓環(huán)相切時(shí)，A的速度沿桿方向，設(shè)為v_A，此時(shí)B的速度設(shè)為v_B，根據(jù)桿不可伸長(zhǎng)和縮短，得：
v_A=v_Bcosθ，
由幾何關(guān)系得：$cosθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
球A下落的高度為：h=$\frac{5-2\sqrt{5}}{5}R$，
由機(jī)械能守恒定律得：$3mgh=\frac{1}{2}（3m）{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
由動(dòng)能定理得：$W=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：$W=\frac{15-6\sqrt{5}}{17}mgR$．
答：（1）A滑到與圓心O同高度時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）A下滑至桿與圓環(huán)第一次相切的過程中，桿對(duì)B做的功為$\frac{15-6\sqrt{5}}{17}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，知道A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，抓住A、B沿桿方向的分速度相等進(jìn)行求解．