Question

如圖（a）所示，有兩級(jí)光滑的絕緣平臺(tái)，高一級(jí)平臺(tái)距離絕緣板的中心O的高度為h，低一級(jí)平臺(tái)高度是高一級(jí)平臺(tái)高度的一半．絕緣板放在水平地面上，板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，一輕質(zhì)彈簧一端連接在絕緣板的中心，另一端固定在墻面上．邊界GH左邊存在著正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況如圖（b）所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．有一質(zhì)量為m、帶負(fù)電的小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣以一定初速滑過平臺(tái)后在t=0時(shí)刻垂直于邊界GH進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中，設(shè)小球剛進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)磁場(chǎng)方向向外且為正值．小球做圓周運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)處恰好與絕緣板發(fā)生彈性碰撞，碰撞后小球立即垂直于邊界GH返回并滑上低一級(jí)平臺(tái)，絕緣板從C開始向右壓縮彈簧的最大距離為S到達(dá)D，求：
（1）磁場(chǎng)變化的周期T．
（2）小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣滑出的初速度v．
（3）絕緣板的質(zhì)量M．
（4）絕緣板壓縮彈簧具有的彈性勢(shì)能E_P．

Answer 1

分析：（1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力平衡，可得到場(chǎng)強(qiáng)．小球在t=

1

4

T時(shí)刻進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，與物塊碰后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰能垂直于邊界GH返回低一級(jí)平臺(tái)上，返回低一級(jí)臺(tái)階的過程，磁場(chǎng)方向與小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)磁場(chǎng)方向相反，說明小球從高一級(jí)平臺(tái)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)到與物塊碰撞經(jīng)過的時(shí)間等于

T

4

，由小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式T′=

2πm

qB

即可求出交變磁場(chǎng)變化的周期T；
（2）小球在復(fù)合場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣滑出的初速度v；
（3）小球與絕緣板的碰撞是彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，根據(jù)守恒定律列方程后聯(lián)立求解即可；
（4）根據(jù)牛頓第二定律求出小球與物塊碰后的速率，根據(jù)能量守恒求出物塊獲得的動(dòng)能，并由能量守恒求解絕緣物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能E_p．

解答：解析：（1）帶電小球垂直于邊界GH進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)恰與絕緣板碰撞，碰后能返回平臺(tái)，說明小球在復(fù)合場(chǎng)中　　qE=mg ①
洛侖茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，且經(jīng)過半個(gè)圓周到達(dá)O點(diǎn)，碰后再經(jīng)過半個(gè)周期回到二級(jí)平臺(tái)．由   qvB=m

v2

r

T=

2πr

v

得到帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的周期公式 T=

2πm

qB

②
①②消去q，得交變磁場(chǎng)變化的周期 T=

2mE

gB

；
（2）由牛頓第二定律有：qvB=m

v2

r

  ③
由幾何關(guān)系有：r=

1

2

h  ④
①③④聯(lián)立，解得：v=

gBh

2E

  ⑤
（3）設(shè)小球碰撞后的速度大小為V，絕緣板的速度大小為V_m．則題意可知，小球返回的半徑r′=

r

2

=

h

4

，又根據(jù)r=

mv

qB

可得：V=

v

2

  ⑥
小球與絕緣板碰撞過程中，以小球和絕緣板為系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒得：mv=-mV+MV_m  ⑦
而小球與絕緣板發(fā)生的是彈性碰撞，它們構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
有：

1

2

mv²=

1

2

mV²+

1

2

MV_m² ⑧
⑤⑥⑦⑧聯(lián)立解得：M=3m   ⑨
（4）絕緣板從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)的過程中，根據(jù)功能關(guān)系有：
E_P+μMgS=

1

2

MV_m²   ⑩
①③⑤⑥⑦⑨⑩聯(lián)立解得：E_P=

3m(gBh)2

32E2

-3μmgS．              
答：（1）磁場(chǎng)變化的周期T為

2mE

gB

．
（2）小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣滑出的初速度v為

gBh

2E

．
（3）絕緣板的質(zhì)量M為3m．
（4）絕緣板壓縮彈簧具有的彈性勢(shì)能E_P為

3m(gBh)2

32E2

-3μmgS．

點(diǎn)評(píng)：本題考查洛侖茲力、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒、功能原理等等知識(shí)，考查學(xué)生綜合分析帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)和碰撞問題等能力．本題空間思維能力要求高，信息量多，沒有分清物理情景是不可能作出正確的計(jì)算的．在處理問題時(shí)既要注意摸清過程，又要分清物體在各點(diǎn)的狀態(tài)，運(yùn)用正確的公式列式，才能取得成效，是一道不錯(cuò)的壓軸題．