Question

5．如圖所示．位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓軌道連接而成圓形軌道的半徑為R，一質(zhì)量為m的小物體從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓軌道運動．要求物體能通過圓軌道最高點，且在最高點與軌道間的壓力不超過3mg（g為重力加速度）．求物塊初始位置相對圓形軌道底部的高度h的取值范圍．

Answer 1

分析 要求物塊相對于圓軌道底部的高度，必須求出物塊到達圓軌道最高點的速度，在最高點物體做圓周運動的向心力由重力和軌道對物體的壓力提供，當壓力恰好為0時，h最小；當壓力最大時，h最大．

解答 解：若物體恰好能夠通過最高點，則有
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得v₁=$\sqrt{gR}$
初始位置相對于圓軌道底部的高度為h₁，則根據(jù)機械能守恒可得
 mgh₁=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得h₁=2.5R
當小物塊對最高點的壓力為3mg時，
有 3mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得v₂=2$\sqrt{gR}$
初始位置到圓軌道的底部的高度為h₂，
根據(jù)機械能守恒定律可得
 mgh₂=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得h₂=4R
故物塊的初始位置相對于圓軌道底部的高度的范圍為2.5R≤h≤4R．
答：物塊的初始位置相對于圓軌道底部的高度的范圍為2.5R≤h≤4R．

點評 物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動的過程中在最高點的最小速度必須滿足重力等于向心力，這是我們解決此類問題的突破口．