Question

2006年都靈冬奧會(huì)上，我國選手以總分250.77的成績創(chuàng)造中國自由式滑雪的里程碑，實(shí)現(xiàn)了我國冬奧史上金牌兩個(gè)“零的突破”（男子項(xiàng)目金牌零的突破和雪上項(xiàng)目金牌零的突破），創(chuàng)造了我國冬奧會(huì)歷史上的奇跡．自由式滑雪的運(yùn)動(dòng)模型可簡化如下：如圖所示，斜面軌道AB與水平面之間的夾角θ=53°，BD為半徑R=4m的圓弧形軌道，且B點(diǎn)與D點(diǎn)在同一水平面上，在B點(diǎn)，軌道AB與圓弧形軌道BD相切，整個(gè)軌道處于豎直平面內(nèi)且處處光滑，在A點(diǎn)處的一質(zhì)量m=1kg的小球由靜止滑下，經(jīng)過B、C點(diǎn)后從D點(diǎn)斜拋出去，最后落在地面上的S點(diǎn)處時(shí)的速度大小v_s=8m/s，已知A點(diǎn)距地面的高度H=10m，B點(diǎn)距地面的高度h=5m，設(shè)以MDN為分界線，假設(shè)其左邊為存在空氣阻力的區(qū)域，右邊為不考慮空氣阻力的真空區(qū)域，g取10m/s²，cos53°=0.6
（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度為多大？
（2）小球經(jīng)過圓弧軌道最低處C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力多大？
（3）小球從D點(diǎn)拋出后，在MDN分界線左邊的區(qū)域受到的阻力f與其瞬時(shí)速度方向始終相反，求小球從D點(diǎn)至S點(diǎn)的過程中，阻力f所做的功．

Answer 1

（1）從A到B過程中，由動(dòng)能定理得：
mg（H-h）=

1

2

mv_B²-0，
解得：v_B=

2(H-h)g

=10m/s；
（2）由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，OB與OC間的夾角是53°，
h_BC=R-Rcos53°=1.6m，
由A到C過程中，由動(dòng)能定理可得：
mg（H-h）+mgh_BC=

1

2

mv_C²-0，
小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
F-mg=

m v 2C

R

，解得：F=43N；
由牛頓第三定律得，小球?qū)�軌道的壓力F′=F=43N；
（3）B點(diǎn)與D點(diǎn)在同一水平面上，v_D=v_B=10m/s，
從D到S過程中，阻力做負(fù)功，由動(dòng)能定理可得：
mgh-W_f=

1

2

mv_S²-

1

2

mv_D²，解得：W_f=68J；
答：（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度為10m/s．
（2）小球經(jīng)過圓弧軌道最低處C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為43N．
（3）阻力f所做的功為-68J．