Question

2．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O′點(diǎn)，且可繞O′點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端拴有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球電荷量為+q，OO′連線與y軸成45°，OO′的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．在x軸上方有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，在x軸下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，且E₁=E₂=$\frac{mg}{q}$，在x軸下方的虛線（虛線與y軸成45°）右側(cè)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．先將小球放在O′的正上方，從繩恰好繃直處由靜止釋放，小球進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)將繩子斷開(kāi)．求：
（1）繩子第一次繃緊后小球的速度大�。�
（2）小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度．
（3）小球從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次經(jīng)過(guò)x軸上的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在繩沒(méi)有拉直之前，小球做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移的大小為繩的長(zhǎng)度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）當(dāng)繩被拉直時(shí)，小球的沿著繩方向的速度變?yōu)榱悖�只有垂直繩方向的速度的大小，之后再電場(chǎng)的作用下，小球加上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得小球進(jìn)入磁場(chǎng)是的速度的大小；
（3）小球在磁場(chǎng)中做的是圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以求得小球的在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，小球離開(kāi)磁場(chǎng)后，進(jìn)入電場(chǎng)在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此可以求得小球的運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）小球一開(kāi)始受到的合力為$\sqrt{2}mg$，作勻加直線運(yùn)動(dòng)，繃緊之前速度為v₁，繩子恰好處于水平狀態(tài)
根據(jù)動(dòng)能定理得：$\sqrt{2}$mg•$\sqrt{2}$L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
得：v₁=2$\sqrt{gL}$
將v₁沿水平方向和豎直方向分解，繃緊后瞬間小球沿繩的方向的速度瞬時(shí)變不零，則小球的速度瞬間變?yōu)榇怪庇诶K的方向，大小為 ${v_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{v_1}=\sqrt{2gL}$
（2）由題意知：小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)將繩斷開(kāi)，則小球之后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₃，據(jù)動(dòng)能定理得：$\sqrt{2}mg•（1-cos\frac{π}{4}）L=\frac{1}{2}mv_3^2-\frac{1}{2}mv_2^2$
解得：v₃=$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$
（3）如圖所示：小球垂直于磁場(chǎng)邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r由牛頓第二定律可得：
 qv₃B=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{r}$
可得 $r=\frac{{m{v_3}}}{qB}$
經(jīng)過(guò)半圓后射出磁場(chǎng)，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的距離 d=2r；
設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，則有：$t=\frac{1}{2}×\frac{2πm}{Bq}+\frac{2r}{v_3}=\frac{（π+2）m}{qB}$
答：（1）繩子第一次繃緊后小球的速度大小是$\sqrt{2gL}$．
（2）小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度是$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$．
（3）小球從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次經(jīng)過(guò)x軸上的時(shí)間為$\frac{（π+2）m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．定圓心角，求時(shí)間．