Question

2．如圖所示，半徑R=0.9m的光滑的半圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，直徑AC豎直，下端A與光滑的水平軌道相切．一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小球沿水平軌道從A端進(jìn)入豎直圓軌道，后小球恰好能通過最高點(diǎn)C．不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球剛進(jìn)入圓周軌道A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為多少？
（2）小球從C點(diǎn)離開軌道后的落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為多少？
（3）若小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，小球從左側(cè)O點(diǎn)V_O=50m/s的速度出發(fā)，則小球從出發(fā)點(diǎn)到A的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通過最高點(diǎn)C，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求得小球通過C點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒求出小球通過A點(diǎn)的速度．根據(jù)牛頓第二定律小球在A點(diǎn)所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，從而求得對(duì)軌道的壓力；
（2）小離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋知識(shí)求落地點(diǎn)到A的水平距離；
（3）從O到A的過程中只有摩擦力對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得OA間的距離．

解答 解：（1）小球恰好能通過最高點(diǎn)C，在C點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
從A到C，由機(jī)械能守恒得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
 N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=6mg=60N
由牛頓第三定律得小球?qū)︓壍赖膲毫Υ笮?0N．
（2）由上可得在C點(diǎn)的速度 ${v}_{C}=\sqrt{gR}=3m/s$，v_A=3$\sqrt{5}$m/s
小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Ct
解得平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離 x=2R=1.8m，即小球從C點(diǎn)離開軌道后的落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為1.8m．
（3）小球在水平面上運(yùn)動(dòng)的過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgS=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  S=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{A}^{2}}{2μg}$=$\frac{5{0}^{2}-45}{2×0.25×10}$m=491m
答：
（1）小球剛進(jìn)入圓周軌道A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為60N．
（2）小球從C點(diǎn)離開軌道后的落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為1.8m．
（3）小球從出發(fā)點(diǎn)到A的距離為491m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)基本公式的直接應(yīng)用，要知道小球恰好能通過最高點(diǎn)C時(shí)，臨界條件是軌道對(duì)球的作用力為零．