Question

如圖所示，在質(zhì)量為M=0.99kg的小車(chē)上，固定著一個(gè)質(zhì)量為m=10g、電阻R=1Ω的矩形單匝線圈MNPQ，其中MN邊水平，NP邊豎直，高度l=0.05m．小車(chē)載著線圈在光滑水平面上一起以v₀=10m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，隨后進(jìn)入一水平有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁場(chǎng)寬度大于小車(chē)長(zhǎng)度），完全穿出磁場(chǎng)時(shí)小車(chē)速度v₁=2m/s．磁場(chǎng)方向與線圈平面垂直并指向紙內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T．已知線圈與小車(chē)之間絕緣，小車(chē)長(zhǎng)度與線圈MN邊長(zhǎng)度相同．求：
（1）小車(chē)剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線圈中感應(yīng)電流I的大小和方向；
（2）小車(chē)通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量Q；
（3）小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）小車(chē)剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線圈切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由公式E=Blv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，根據(jù)楞次定律判斷感應(yīng)電流的度方向；
（2）小車(chē)通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中，小車(chē)與線圈的總動(dòng)能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解熱量Q；
（3）要求小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈克服安培力所做的功W，關(guān)鍵要求小車(chē)完全進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度v．根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式a=

△v

△t

、電量q=i△t結(jié)合得到小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中小車(chē)的速度變化量與電量的關(guān)系式，同理得到小車(chē)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度變化量與電量的關(guān)系式，由于進(jìn)入和離開(kāi)磁場(chǎng)兩個(gè)過(guò)程中，通過(guò)線圈的電量大小相等，聯(lián)立即可求解速度v，再根據(jù)功能關(guān)系求解W．

解答：解：
（1）線圈切割磁感線的速度v₀=10m/s，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=Blv₀=1×0.05×10=0.5V
由閉合電路歐姆定律得，線圈中電流為　I=

E

R

=

0．5

1

=0．5A          
由楞次定律知線圈中感應(yīng)電流方向?yàn)?nbsp;M→Q→P→N→M    
（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)克服安培力做功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化成電能，產(chǎn)生的電熱為
  Q=

1

2

（M+m）

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

=

1

2

×1×102-

1

2

×1×22=48（J）
（3）設(shè)小車(chē)完全進(jìn)入磁場(chǎng)后速度為v，在小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)從t時(shí)刻到t+△t時(shí)刻（△t→0）過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律得
  -Bil=m

△v

△t

即-Bl?i△t=m△v，
而i△t=q_入
求和得 BLq_入=m（v₀-v） 
同理得 
  BLq_出=m（v-v₁） 
而 q=i△t=

E

R

?△t=

△Φ

R?△t

?△t=

△Φ

R

又線圈進(jìn)入和穿出磁場(chǎng)過(guò)程中磁通量的變化量相同，因而有 q_入=q_出
故得  v₀-v=v-v₁  即有 v=

v0+v1

2

=6 m/s 
所以，小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈克服安培力做功
W_克=

1

2

（M+m）

v

2 0

-

1

2

（M+m）v²=

1

2

×1×102-

1

2

×1×62=32（J）
答：
（1）小車(chē)剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線圈中感應(yīng)電流I的大小為0.5A，方向?yàn)?M→Q→P→N→M；
（2）小車(chē)通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中線圈電阻的發(fā)熱量Q為48J；
（3）小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中線圈克服安培力所做的功W為32J．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)用積分法求解小車(chē)進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度v，也可以根據(jù)動(dòng)量定理列式求出v．