Question

6．圖甲為一研究電磁感應的實驗裝置示意圖，其中電流感應器（相當于一只理想的電流表）能將各時刻的電流數(shù)據(jù)實時通過數(shù)據(jù)采集器傳輸給計算機，經(jīng)計算機處理后在屏幕上同步顯示出I-t圖象．足夠長光滑金屬軌道電阻不計．寬度為L，傾角為θ，軌道上端連接的定值電阻的阻值為R，金屬桿MN的電阻為r．質(zhì)量為m．在軌道區(qū)域加一垂直于軌道平面向下、磁感應強度為B的勻強磁場，讓金屬桿在軌道平面向下、大小隨時間變化的拉力F作用下由靜止開始下滑，計算機顯示出如圖乙所示的I-t圖象．設桿匝整個運動過程中與軌道垂直．

（1）試推導出金屬桿的速度v隨時間t變化的關系式；
（2）試推導出拉力F隨時間t變化的關系式；
（3）金屬桿從靜止開始下滑2t₀時間，在定值電阻所產(chǎn)生的焦耳熱為Q，則拉力做的功W為多少？

Answer 1

分析 （1）由圖乙得到I與t的關系式．根據(jù)公式E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$結(jié)合，求解v與t的關系式．
（2）根據(jù)v-t關系式，分析棒MN的運動情況，得到加速度，由F_安=BIL和牛頓第二定律求解F-t的關系式．
（3）結(jié)合棒的運動情況，求出棒在2t₀時間內(nèi)的位移和速度，再由能量守恒定律求解拉力做功．

解答 解：（1）由圖乙得：I=$\frac{{I}_{0}}{{t}_{0}}$t
由E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$得：v=$\frac{{I}_{0}（R+r）}{BL{t}_{0}}$t
（2）由上知棒做勻加速直線運動，加速度為 a=$\frac{{I}_{0}（R+r）}{BL{t}_{0}}$
安培力 F_安=BIL=$\frac{B{I}_{0}L}{{t}_{0}}$t
由牛頓第二定律得：F+mgsinθ-F_安=ma
可得 F=$\frac{m{I}_{0}（R+r）}{BL{t}_{0}}$+$\frac{B{I}_{0}L}{{t}_{0}}$t-mgsinθ
（3）金屬桿從靜止開始下滑2t₀時間內(nèi)通過的位移為 x=$\frac{1}{2}a（2{t}_{0}）^{2}$
2t₀時刻的速度 v=a•2t₀
根據(jù)串聯(lián)電路的規(guī)律知棒產(chǎn)生的熱量為 $\frac{r}{R}$Q．
根據(jù)能量守恒定律得：W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+（Q+$\frac{r}{R}$Q）-mgsinθ•x
聯(lián)立解得：W=$\frac{2m{v}_{0}^{2}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$+$\frac{R+r}{R}$Q-g$\frac{2m{I}_{0}（R+r）{t}_{0}sinθ}{BL}$
答：
（1）金屬桿的速度v隨時間t變化的關系式是 v=$\frac{{I}_{0}（R+r）}{BL{t}_{0}}$t；
（2）拉力F隨時間t變化的關系式是 F=$\frac{m{I}_{0}（R+r）}{BL{t}_{0}}$+$\frac{B{I}_{0}L}{{t}_{0}}$t-mgsinθ；
（3）拉力做的功W為$\frac{2m{v}_{0}^{2}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$+$\frac{R+r}{R}$Q-g$\frac{2m{I}_{0}（R+r）{t}_{0}sinθ}{BL}$．

點評 本題是一道電磁感應與電路、力學相結(jié)合的綜合題，關鍵要列式分析清楚金屬棒的運動情況，應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律、牛頓第二定律、運動學公式和能量守恒定律等結(jié)合解題．