Question

（25分）在真空中建立一坐標系，以水平向右為軸正方向，豎直向下為軸正方向，軸垂直紙面向里（如圖）．在的區(qū)域內有勻強磁場，，磁場的磁感強度的方向沿軸的正方向，其大小．今把一荷質比的帶正電質點在，，處靜止釋放，將帶電質點過原點的時刻定為時刻，求帶電質點在磁場中任一時刻的位置坐標．并求它剛離開磁場時的位置和速度．取重力加速度。

Answer 1

解析：

解法一：

帶電質點靜止釋放時，受重力作用做自由落體運動，當它到達坐標原點時，速度為                              （1）

方向豎直向下．帶電質點進入磁場后，除受重力作用外，還受到洛倫茲力作用，質點速度的大小和方向都將變化，洛倫茲力的大小和方向亦隨之變化．我們可以設想，在帶電質點到達原點時，給質點附加上沿軸正方向和負方向兩個大小都是的初速度，由于這兩個方向相反的速度的合速度為零，因而不影響帶電質點以后的運動．在時刻，帶電質點因具有沿軸正方向的初速度而受洛倫茲力的作用。

                                           （2）

其方向與重力的方向相反．適當選擇的大小，使等于重力，即

                                          （3）

                               (4)

只要帶電質點保持（4）式決定的沿軸正方向運動，與重力的合力永遠等于零．但此時，位于坐標原點的帶電質點還具有豎直向下的速度和沿軸負方向的速度，二者的合成速度大小為

                             （5）

方向指向左下方，設它與軸的負方向的夾角為，如圖1所示，則

  

               （6）

因而帶電質點從時刻起的運動可以看做是速率為，沿軸的正方向的勻速直線運動和在平面內速率為的勻速圓周運動的合成．圓周半徑

      （7）

帶電質點進入磁場瞬間所對應的圓周運動的圓心位于垂直于質點此時速度的直線上，由圖1可知，其坐標為

                              （8） 

圓周運動的角速度

                                 （9）

由圖1可知，在帶電質點離開磁場區(qū)域前的任何時刻，質點位置的坐標為

                         （10）

                              （11）

式中、、、、、已分別由（4）、（7）、（9）、（6）、（8）各式給出。

帶電質點到達磁場區(qū)域下邊界時，，代入（11）式，再代入有關數(shù)值，解得

                                          （12）

將（12）式代入（10）式，再代入有關數(shù)值得

                                         （13）

所以帶電質點離開磁場下邊界時的位置的坐標為

                           （14）

帶電質點在磁場內的運動可分解成一個速率為的勻速圓周運動和一個速率為的沿軸正方向的勻速直線運動，任何時刻，帶電質點的速度便是勻速圓周運動速度與勻速直線運動的速度的合速度．若圓周運動的速度在方向和方向的分量為、，則質點合速度在方向和方向的分速度分別為

                                         （15）

                                             （16）

雖然，由（5）式決定，其大小是恒定不變的，由（4）式決定，也是恒定不變的，但在質點運動過程中因的方向不斷變化，它在方向和方向的分量和都隨時間變化，因此和也隨時間變化，取決于所考察時刻質點做圓周運動速度的方向，由于圓周運動的圓心的坐標恰為磁場區(qū)域寬度的一半，由對稱性可知，帶電質點離開磁場下邊緣時，圓周運動的速度方向應指向右下方，與軸正方向夾角，故代入數(shù)值得

將以上兩式及（5）式代入（15）、（16）式，便得帶電質點剛離開磁場區(qū)域時的速度分量，它們分別為

                                     （17）

                                     （18）

速度大小為

        （19）

設的方向與軸的夾角為，如圖2所示，則

       

得                              （20）

評分標準：本題25分

（4）式5分，求得（5）、（6）式各給3分，求得（10）、（11）式各給2分，（14）式3分，（19）式5分，求得（20）式再給2分。

解法二：

若以帶電質點到達坐標原點的時刻作為起始時刻（），則質點的初速度為

                              （1¢）

方向沿軸正方向．進入磁場區(qū)后，帶電質點將受到洛倫茲力作用，洛倫茲力在方向的分力取決于質點在方向的分速度，因此質點動量在方向的分量的增量為

                               （2¢）

是帶電質點在時間內沿方向的位移，質點在磁場中運動的整個過程中，此式對每一段時間都成立，所以在到時間內方向的動量的改變?yōu)?/p>

因初始時刻（），帶電質點在軸方向的動量為零，其位置在原點，，因而得

即                                                        （3¢）

    當帶電質點具有方向的速度后，便立即受到沿負方向的洛倫茲力的作用．根據(jù)牛頓第二定律，在方向上有加速度

                                    （4¢）

將（3¢）式代入（4¢）式，得

                         （5¢）

令                                          （6¢）

式中

                       （7¢）

即在方向作用于帶電質點的合力

其中           

是準彈性力，在作用下，帶電質點在方向的運動是簡諧振動，振動的圓頻率

                             （8¢）

隨時間變化的規(guī)律為

                                   （9¢）      

或

                               （10¢）

與是待求的常量，質點的簡諧運動可以用參考圓來描寫，以所考察的簡諧運動的振幅為半徑作一圓，過圓心作一直角坐標．若有一質點沿此圓周做勻速率圓周運動，運動的角速度等于所考察簡諧運動的角頻率，且按逆時針方向轉動，在時刻，點的在圓周上的位置恰使連線與軸的夾角等于（9¢）式中的常量，則在任意時刻，與的連線與軸的夾角等于，于是連線在軸上的投影即為（9¢）式所示的簡諧振動，將軸平行下移，連線在軸的投影即如（10¢）式所示（參看圖3），點做圓周運動的速度大小，方向與垂直，速度的分量就是帶電質點沿軸做簡諧運動的速度，即

                                （11¢）

（10¢）和（11¢）兩式中的和可由下面的方法求得：因為已知在時，帶電質點位于處，速度，把這個條件代入（10¢）式與（11¢）式得

解上面兩式，結合(1¢)、(8¢)式，注意到振幅總是正的，故得
                                             (12¢)

                                          (13¢)

把（10¢）式代入(3¢)式，便得帶電質點沿軸運動的速度

                             (14¢)

（14¢）式表示帶電質點在方向上的速度是由兩個速度合成的，即沿方向的勻速運動速度和方向的簡諧振動速度的合成，帶電質點沿方向的勻速運動的位移

                                           （15¢）

由沿方向的簡諧振動速度可知，沿方向振動位移的振幅等于速度的最大值與角頻率的比值（參看圖3），即等于．由參考圓方法可知，沿方向的振動的位移具有如下的形式

它可能是，亦可能是．在本題中，時刻，應為零，故前一表示式不符合題意．后一表示式中，應取的值為，故有

                          （16¢）

帶電質點在方向的合位移，由（15¢）、（16¢）式，得

                      （17¢）

（17¢）、（10¢）、（14¢）和（11¢）式分別給出了帶電質點在離開磁場區(qū)域前任何時刻的位置坐標和速度的分量和分量，式中常量、、、已分別由（8¢）、（13¢）、（12¢）和（7¢）式給出．

當帶電質點達到磁場的下邊界時，

                                      （18¢）

將與（10¢）式有關的數(shù)據(jù)代入（10¢）式，可解得

                                            （19¢）

代入（17¢）式，得

                                           （20¢）

將（19¢）式分別代入（14¢）式與（11¢）式，得

    

速度大小為

                                   （21¢）

速度方向為

                                       （22¢）

評分標準：本題25分

（7¢）式2分，（8¢）式3分，（10¢）式2分，（11¢）式2分，（12¢）式3分，（13¢）式3分，（14¢）式2分，（17¢）式3分，（20¢）式3分，（21¢）式1分，（22¢）式1分。