Question

5．如圖，豎直平面內(nèi)放著兩根間距L=1m，電阻不計(jì)的足夠長(zhǎng)平行金屬板M、N，兩板間接一阻值R=2Ω的電阻，N板上有一小孔Q，在金屬板M、N及CD上方有垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1T的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，N板右側(cè)區(qū)域KL上、下部分分別充滿方向垂直紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B₁=3T和B₂=2T，有一質(zhì)量M=0.2kg，電阻r=1Ω的金屬棒搭在MN之間并與MN良好接觸，用輸出功率恒定的電動(dòng)機(jī)拉著金屬棒豎直向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒到達(dá)最大速度時(shí)，在與Q等高并靠近M板的P點(diǎn)靜止釋放一個(gè)比荷$\frac{q}{m}=1×{10^4}$c/kg的正離子，經(jīng)電場(chǎng)加速后，以v=200m/s的速度從Q點(diǎn)垂直于N板邊界射入右側(cè)區(qū)域，不計(jì)離子重力，忽略電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，取g=10m/s²，求：
（1）金屬棒達(dá)最大速度時(shí)，電阻R兩端電壓U；
（2）電動(dòng)機(jī)的輸出功率P；
（3）離子從Q點(diǎn)進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)后恰好不會(huì)回到N板，Q點(diǎn)距離分界線高h(yuǎn)等于多少．

Answer 1

分析 （1）粒子從P到Q是在加速電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求解板間電壓，即為R兩端電壓；
（2）根據(jù)歐姆定律求解電流，根據(jù)安培力公式求解安培力，根據(jù)平衡條件求解拉力，最后結(jié)合切割公式和功率公式列式，聯(lián)立求解即可；
（3）做出粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖，粒子在兩部分的磁場(chǎng)中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求解軌道半徑；分析找出不會(huì)回到N板的臨界條件：即軌跡恰好與y軸相切，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求出h．

解答 解：
（1）設(shè)MN兩板的電壓為U，粒子在Q點(diǎn)的速度為v，導(dǎo)體棒的安培力為F_安，導(dǎo)體棒的最大速度為v_m
        離子從P運(yùn)動(dòng)到Q，由動(dòng)能定理：qU=$\frac{1}{2}m{v^2}$ 
        解得R兩端電壓：U=2V ①
（2）電路的電流：I=$\frac{U}{R}$ ②
        安培力：F_安=B₀IL ③
        受力平衡：F=Mg+F_安④
        由閉合電路歐姆定律：E=I（R+r） ⑤
        感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=B₀Lv_m⑥
        電動(dòng)機(jī)的輸出功率：P=Fv_m⑦
        聯(lián)立①②③④⑤⑥⑦式，可得：電動(dòng)機(jī)功率 P=9W
（3）如圖所示，設(shè)離子恰好不會(huì)回到N板時(shí)，對(duì)應(yīng)的離子在上、下區(qū)域的運(yùn)動(dòng)半徑分別為r₁和r₂，圓心的連線與N板的夾角為φ．
        在磁場(chǎng)B₁中，由qvB₁=m$\frac{v^2}{r_1}$ 
        解得運(yùn)動(dòng)半徑為r₁=$\frac{2}{3}×{10^{-2}}$m ⑧
        在磁場(chǎng)B₂中，由qvB₂=m$\frac{v^2}{r_2}$
        解得運(yùn)動(dòng)半徑為r₂=1×10^-2m ⑨
        如圖根據(jù)幾何關(guān)系得：（r₁+r₂）sin φ=r₂⑩
        r₁+r₁cos φ=h⑪
        聯(lián)立⑧⑨⑩⑪式得：h=1.2×10^-2m．
答：（1）金屬棒達(dá)最大速度時(shí)，電阻R兩端電壓U為2V；
      （2）電動(dòng)機(jī)的輸出功率P為9W；
      （3）離子從Q點(diǎn)進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)后恰好不會(huì)回到N板，Q點(diǎn)距分界線的高度h為1.2×10^-2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合題，考查點(diǎn)包括：瞬時(shí)功率、法拉第電磁感應(yīng)定律（導(dǎo)體棒切割磁感線模型）、閉合電路歐姆定律、帶電粒子在加速電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以及帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，過(guò)程較為復(fù)雜要仔細(xì)分析，分析第三問(wèn)時(shí)，一定要畫(huà)出軌跡過(guò)程圖，并且作圖要規(guī)范，以便找到粒子不會(huì)回到N板的臨界幾何條件：即粒子軌跡與N板相切．