Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P,其質量m=2×10^-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的勻強磁場。此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5 m的圓周運動。小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？

（2）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。

 (3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。

Answer 1

見解析

解析:

（1）設彈簧的彈力做功為W，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)，得：W＝J　　　　　　　　　　　　　　　 �、�

（2）由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有:     ③

而： 　　　　　　　　　　　　　　　　            ④

若P、N碰后速度同向時，計算可得V<v1，這種碰撞不能實現(xiàn)。P、N碰后瞬時必為反向運動。有：                    ⑤

P、N速度相同時，N經過的時間為，P經過的時間為。設此時N的速度V1的方向與水平方向的夾角為，有：

　　　　　　　                             ⑥

　　　　　　　　　　　   　         ⑦

代入數(shù)據(jù)，得： 　　　　　　　　　　             ⑧

對小球P，其圓周運動的周期為T，有：

　　　　　　　　　　　　　             　      ⑨

經計算得： ＜T，

P經過時，對應的圓心角為，有： 　　　     ⑩

當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關方程得：

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同。

當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有： ，

同上得： ，

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同。

（3）當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同， ，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同，

同理得： ，

考慮圓周運動的周期性，有:

（給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值）