Question

3．如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)繩上端固定在天花板上O點(diǎn)，下端拴著質(zhì)量為m的小球．當(dāng)把細(xì)繩拉直時(shí)，細(xì)繩與豎直線的夾角為θ=60°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平面上．
（1）當(dāng)球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩的張力F_T為多大？水平面受到的壓力F_N是多大？
（2）當(dāng)球以角速度ω₂=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩的張力F_T′及水平面受到的壓力F_N′各是多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o(wú)壓力時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時(shí)小球的角速度．根據(jù)角速度ω₂=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開(kāi)桌面．若小球桌面做圓周運(yùn)動(dòng)，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．

解答 解：（1）對(duì)小球受力分析，作出力圖如圖1．球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，則
根據(jù)牛頓第二定律，得
 水平方向有：F_Tsin60°=mω₁²Lsin60°①
 豎直方向有：F_N′+F_Tcos60°-mg=0 ②
又ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$
解得 F_T=mg，F(xiàn)_N′=$\frac{1}{2}mg$
根據(jù)牛頓第三定律得知水平面受到的壓力F_N=F_N′=$\frac{1}{2}mg$．
（2）設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o(wú)壓力時(shí)角速度為ω₀，即F_N′=0
代入①②解得，ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$
由于ω₂=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$＞ω₀，故小球離開(kāi)桌面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)小球的受力如圖2．設(shè)繩子與豎直方向的夾角為α，則有
  mgtanθ=mω₂²•lsinα  ③
   mg=F_T′cosα  ④
聯(lián)立解得 F_T′=4mg
答：
（1）當(dāng)球以ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力F_T為mg，桌面受到壓力F_N是$\frac{1}{2}mg$．
（2）當(dāng)球以角速度ω₂=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺問(wèn)題，分析受力，確定向心力來(lái)源是關(guān)鍵，要注意分析隱含的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解．