Question

14．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓O₁分別與x軸、y軸相切于P（-R，0）、Q（0，R） 兩點(diǎn)，圓O₁內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．與y軸負(fù)方向平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合，右邊界交x軸于M點(diǎn)，一帶正電的粒子A（重力不計(jì)）電荷量為q、質(zhì)量為m，以某一速率垂直于x軸從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)恰好從Q點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后從M點(diǎn)以與x軸正向夾角為45°的方向射出電場(chǎng)．求：
（1）OM之間的距離；
（2）該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（3）若另有一個(gè)與A的質(zhì)量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從P點(diǎn)沿與x軸負(fù)方向成30°角的方向射入磁場(chǎng)，則粒子A′再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值為多少？

Answer 1

分析 （1）從D至G作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列方程求解OG之間的距離；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由圓周運(yùn)動(dòng)的半徑表示出粒子的速度，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（3）結(jié)合題意作出所以粒子A′的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子A′也是垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)的，結(jié)合幾何知識(shí)求解粒子A′再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值．

解答 解：（1）設(shè)粒子A速率為v₀，其軌跡圓圓心在O點(diǎn)，故A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)速度與y軸垂直，粒子A從D至G作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
令其加速度為a，在電場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間為t，
則有：$y=R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
x=OG=v₀t …①
和 tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$ …②
聯(lián)立①②解得：$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}at}{{v}_{0}}$=$\frac{1}{2}$tan45°=$\frac{1}{2}$
故有：OG=2R…③
（2）粒子A的軌跡圓半徑為R，由$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$
得 ${v_0}=\frac{qBR}{m}$…④
$a=\frac{Eq}{m}$…⑤
聯(lián)立①③⑤得$R=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{（\frac{2R}{{v_0^{\;}}}）^2}$
解得：E=$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$
（3）令粒子A′軌跡圓圓心為O′，因?yàn)椤螼′CA′=90°，O′C=R，以 O′為圓心，R為半徑做A′的軌跡圓交圓形磁場(chǎng)O₁于H點(diǎn)，
則四邊形CO′H O₁為菱形，故O′H∥y軸，粒子A′從磁場(chǎng)中出來(lái)交y軸于I點(diǎn)，HI⊥O′H，
所以粒子A′也是垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)的，令粒子A′從J點(diǎn)射出電場(chǎng)，交x軸于K點(diǎn)，
因與粒子A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類(lèi)似，
∠JKG=45°，GK=GJ．                                     
OI-JG=R
又OI=R+Rcos30°
解得：JG=Rcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R           
粒子A′再次回到x軸上的坐標(biāo)為（2R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，0）
答：（1）OG之間的距離2R；
（2）該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$；
（3）若另有一個(gè)與A的質(zhì)量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從C點(diǎn)沿與x軸負(fù)方向成30°角的方向射入磁場(chǎng)，則粒子A′再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值為（2R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，0）．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．