Question

9．在光滑水平面上，有一靜止的小車質(zhì)量為M，如圖所示，一質(zhì)量為m的小球，以某一水平速度射向小車上光滑的半徑為R的四分之一圓弧的底部如圖所示．問：
（1）小球初速度v₀為多大時(shí)，小球恰好能上升到四分之一圓弧頂端；
（2）若以一問中所求的初速度的兩倍再在同位置射向靜止的小車，則小球增加的重力勢(shì)能的最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在圓弧軌道上上滑時(shí)系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，當(dāng)小球恰好能上升到四分之一圓弧頂端時(shí)小球與小車的速度相同，由動(dòng)量守恒定律求出共同速度，再結(jié)合系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式，聯(lián)立求解．
（2）由水平方向動(dòng)量守恒求水平方向共同速度，由能量守恒定律求小球增加的重力勢(shì)能的最大值．

解答 解：（1）取向右為正方向，對(duì)m、M組成的系統(tǒng)，由水平方向動(dòng)量守恒得：
  mv₀=（m+M）v       
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=mgR+$\frac{1}{2}$（m+M）v² 
解以上兩式得：v₀=$\sqrt{\frac{2（M+m）gR}{M}}$
（2）對(duì)m、M，由水平方向動(dòng)量守恒得：
  2mv₀=（M+m）v_共 
由能量守恒得：
  $\frac{1}{2}$m（2v₀）²=△E_P+$\frac{1}{2}$（m+M）v_共²
解以上兩式并代v₀得：△E_P=4mgR 
答：
（1）小球初速度v₀為$\sqrt{\frac{2（M+m）gR}{M}}$時(shí)，小球恰好能上升到四分之一圓弧頂端．
（2）小球增加的重力勢(shì)能的最大值為4mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒問題，對(duì)于兩個(gè)物體，往往首先考慮守恒定律能不能用，本題要注意系統(tǒng)總動(dòng)量不守恒．