Question

13．如圖，空間有一豎直向下沿x軸方向的靜電場，電場的場強大小按E=kx分布（x是軸上某點到O點的距離），k=$\frac{mg}{3qL}$．x軸上，有一長為L的絕緣細線連接A、B兩個小球，兩球質(zhì)量均為m，B球帶負電，帶電量為 q，A球距O點的距離為L．兩球現(xiàn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計兩球之間的靜電力作用．
（1）求A球的帶電量q_A；
（2）將A、B間細線剪斷，描述B球的運動情況，并分析說明理由；
（3）剪斷細線后，求B球的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）選取AB組成的整體為研究的對象，寫出平衡方程，即可求得A的電量；
（2）剪斷細線后，B球的先向下做加速運動，隨受到的電場力的增大，加速度減小，所以B球做加速度減小的加速運動；當(dāng)電場力大于重力之后，小球B做減速運動，直至返回．根據(jù)它受力和運動即可判斷
（3）根據(jù)電場強度大小按E=kx分布，畫出A球所受電場力F與x的圖象；當(dāng)A球受到的重力與電場力相等時，受到最大；根據(jù)動能定理即可求得A球運動的最大速度；

解答 解：（1）A、B兩球靜止時，A球所處位置場強為${E}_{1}=kL=\frac{mg}{3q}$
B球所處位置場強為${E}_{2}=k•2L=\frac{2mg}{3q}$     
對A、B由整體法得：2mg+q_AE₁-qE₂=0
解得：q_A=-4q                    
（2）剪斷細線后，B球初始受到合力F=mg-$\frac{2}{3}$mg=$\frac{1}{3}$mg，方向豎直向下，B球開始向下運動；
運動后，B球受力為F_合=mg-kxq，隨x增大，F(xiàn)_合減小，所以B球做加速度減小的加速運動；
當(dāng)F_合減小為零時，B球速度達到最大，繼續(xù)向下運動，F(xiàn)_合方向向上，并逐漸增大，B球做加速度增大的減速運動．
當(dāng)速度減小為零后，此時電場力大于重力，B球反向運動，最終B球做往復(fù)運動．
（3）當(dāng)B球下落速度達到最大時，B球距O點距離為x₀
$mg=qEq\frac{mg}{3qL}{x}_{0}$      解得：x₀=3L
當(dāng)B球下落速度達到最大時，B球距O點距離為3L
運動過程中，電場力大小線性變化，所以由動能定理得：
$，gL-\overline{E}qL=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
$\overline{E}q=\frac{\frac{2}{3}mg+mg}{2}=\frac{5}{6}mg$
解得：v_m=$\sqrt{\frac{gL}{3}}$                       
答：（1）求A球的帶電量q_A為-4q
（2）B球做往復(fù)運動
（3）剪斷細線后，求B球的最大速度v_m為$\sqrt{\frac{gL}{3}}$

點評 該題中，兩個小球受到的力是變力，要根據(jù)它們受力變化的規(guī)律，正確分析得出它們運動的規(guī)律，然后才能做出正確的結(jié)論．題目的難度比較大．