Question

9．如圖所示，在S點(diǎn)的電荷量為q、質(zhì)量為m的靜止帶電粒子，被加速電壓為U、極板間距離為d的勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后，從正中央垂直射入電壓為U的勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)極板長(zhǎng)度和極板距離均為L(zhǎng)．（不計(jì)重力影響）
（1）帶點(diǎn)粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)沿垂直于板面方向偏移的距離和偏轉(zhuǎn)的角度？
（2）若離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)即進(jìn)入一個(gè)垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．（不計(jì)重力影響），欲使帶電粒子通過(guò)某路徑返回S點(diǎn)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度D至少為多少？該帶電粒子周期性運(yùn)動(dòng)的周期T是多少？偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極多長(zhǎng)時(shí)間變換一次方向？

Answer 1

分析 （1）對(duì)在加速電場(chǎng)中運(yùn)用動(dòng)能定理，結(jié)合在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)求出偏轉(zhuǎn)位移的大小和偏轉(zhuǎn)角；
（2）對(duì)整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，結(jié)合半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小寬度；粒子在加速電場(chǎng)中勻加速直線(xiàn)勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和推論以及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式求出帶電粒子的周期T．偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極變換一次方向的時(shí)間等于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)直線(xiàn)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
故加速后粒子速度：
v₀=$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，故：
L=v₀t
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：
a=$\frac{qU}{md}$
故在極板中飛行時(shí)間：
t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
在極板中受一垂直于初速度方向的力，經(jīng)過(guò)t后垂直方向的位移為：
y=$\frac{1}{2}$$\frac{Uq}{mL}$t²=$\frac{L}{4}$
豎直分速度為：
v_y=$\frac{Uq}{mL}$t=$\sqrt{\frac{Uq}{2m}}$
速度偏轉(zhuǎn)角正切：
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{\sqrt{\frac{Uq}{2m}}}{\sqrt{\frac{2Uq}{m}}}$=$\frac{1}{2}$
即偏移距離$\frac{L}{4}$，偏轉(zhuǎn)角度arctan$\frac{1}{2}$．
（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是對(duì)稱(chēng)的，在磁場(chǎng)中的部分是一段優(yōu)�。�它的半徑$R=\frac{mv}{qB}=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$，左邊界與射出速度方向相切，則磁場(chǎng)寬度：
D=R$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$=（5+$\sqrt{5}$）$\sqrt{\frac{qU}{10m}}$．
通過(guò)該弧需時(shí)$\frac{2πm}{qB}（π-arctan2）$，在偏轉(zhuǎn)極板間來(lái)回需L$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，加速極板間來(lái)回需2d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，則：
T=$\frac{2π}{qB}（π-arctan2）+L\sqrt{\frac{2m}{qU}}+2d\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)方向每隔$\frac{T}{2}$改變即可．
答：（1）帶點(diǎn)粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)沿垂直于板面方向偏移的距離為$\frac{L}{4}$，偏轉(zhuǎn)的角度為arctan$\frac{1}{2}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度D至少為（5+$\sqrt{5}$）$\sqrt{\frac{qU}{10m}}$，該帶電粒子周期性運(yùn)動(dòng)的周期T是$\frac{2π}{qB}（π-arctan2）+L\sqrt{\frac{2m}{qU}}+2d\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極時(shí)間每隔$\frac{T}{2}$變換一次方向．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的軌跡，知道粒子在加速電場(chǎng)中做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．