在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿對角線AC折起后如圖所示（點D記為點P），點P在平面ABC上的正投影E落在線段AB上，連接PB．若F是AC的中點，連接PF，EF．
（1）求證：AC⊥平面PEF．
（2）求直線PC與平面PAB所成的角的大�。�

已知在單位圓x²+y²=1上任取一點M，作MN⊥x軸，垂足為N，

NQ

=

2

NM

．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設點A（a，0），點P為曲線C上任一點，求點A到點P距離的最大值d（a）；
（Ⅲ）在0＜a＜1的條件下，設△POA的面積為S₁（O是坐標原點，P是曲線C上橫坐標為a的點），以d（a）為邊長的正方形的面積為S₂．若正數m滿足S1≤

1

4

mS2，問m是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求四棱錐B-AEFC的體積；
（2）求△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

某射擊運動員向一目標射擊，該目標分為3個不同部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6．擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（1）若射擊4次，每次擊中目標的概率為

1

3

且相互獨立．設ξ表示目標被擊中的次數，求ξ的分布列和數學期望E（ξ）；
（2）若射擊2次均擊中目標，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求事件A發(fā)生的概率．

如圖，過坐標原點O作傾斜角為60°的直線交拋物線Γ：y²=x于P₁點，過P₁點作傾斜角為120°的直線交x軸于Q₁點，交Γ于P₂點；過P₂點作傾斜角為60°的直線交x軸于Q₂點，交Γ于P₃點；過P₃點作傾斜角為120°的直線，交x軸于Q₃點，交Γ于P₄點；如此下去…．又設線段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的長分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n，…的面積分別為G₁，G₂，G₃，…，G_n，…，數列{a_n}的前n項的和為S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，

lim

n→∞

Gn

Sn

；
（3）設bn=aan(a＞0且a≠1)，數列{b_n}的前n項和為T_n，對于正整數p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，試比較T_p•T_s與T_q•T_r的大�。�

已知A={x|x²-5x+4=0}，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，C={x|x²-mx+4=0}，若A∪B=A，A∩C=C，求實數a，m的值．

設隨機變量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=

5

9

，則P（η≥2）=．

記關于x的不等式

x-a

x-1

＜0的解集為P，不等式|x-1|＜1的解集為Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若a=-1，求P∪Q．

經市場調查：生產某產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為W（x）萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)=

1

3

x2+x（萬元），在年產量不小于8萬件時，W(x)=6x+

100

x

-38（萬元）．通過市場分析，每件產品售價為5元時，生產的商品能當年全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；
（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）
（2）年產量為多少萬件時，在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

設正四面體的四個頂點是A，B，C，D各棱長均為1米，有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一頂點處用同樣的概率選擇通過這個頂點的三條棱之一，并一直爬到這條 棱的盡頭，則它爬了5米之后恰好再次位于頂點A的概率是（結果用分數表示）．