化簡：cos⁴

π

2

-sin⁴

π

2

．

已知橢圓x²+2y²=a²（a＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線y=k（x-1）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問，是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得對(duì)任意的k∈R，

MA

•

MB

為定值，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

在雙曲線x²-y²=4上有一點(diǎn)P，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=90°，求△F₁PF₂的周長．

將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，求一個(gè)杯子中球數(shù)的最大值x的概率分布．

已知集合A={x|-2＜x≤2}，B={x|a＜x＜a+3}．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求A∩B；
（2）求使得B⊆A的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若不存在實(shí)數(shù)x，使x∈A與x∈B同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

點(diǎn)P是圓M：（x+1）²+y²=16上一點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0），線段PF的垂直平分線和圓M的半徑MP相交于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）若直線x=my-1交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．

已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）．直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是-

1

4

，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，直線AQ，BQ分別交直線l：x=4于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為D，求直線QB與直線BD的斜率之積的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記直線BM與AN的交點(diǎn)為T，試探究點(diǎn)T與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由．

已知橢圓x²+2y²=a²（a＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線y=k（x-1）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M（

11

4

，0），求證

MA

•

MB

為定值．

離心率為

5

5

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線x=ky+1與C交于相異兩點(diǎn)M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求k．

某人沿一條折線段組成的小路前進(jìn)，從A到B，方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是50°，距離是3km；從B到C，方位角是110°，距離是3km；從C到D，方位角是140°，距離是（9+3

3

）km．試畫出大致示意圖，并計(jì)算出從A到D的方位角和距離（結(jié)果保留根號(hào)）．