已知函數f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（Ⅱ）若x=x₀（0≤x₀≤

π

2

）為f（x）的一個零點，求cos2x₀的值．

某科考試中，從甲、乙兩個班級各隨機抽取10名同學的成績進行統(tǒng)計分析，兩班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．
（1）分別計算甲、乙兩班10名同學成績的平均數，并估計哪班的成績更高；
（2）在所抽取的20人中的及格同學中，按分層抽樣的方法抽取5人，求甲班恰好抽到一名成績?yōu)?00分以上的同學的概率．

已知函數f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導函數f′（x）為偶函數，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4-c．
（Ⅰ）確定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

已知函數f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，

π

2

]
（1）求證：f（x）≤0；
（2）若a＜

sinx

x

＜b對x∈（0，

π

2

）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．

已知函數f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若f（

α

2

+

π

8

）=

3 2

5

，求cos2a的值．

已知函數f（x）=x⁴+ax³+bx+c（a，b，c∈R），g（x）=f′（x）且g（0）=g（1）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若任意x₁、x₂∈[0，1]且x₂＞x₁，求證：|g（x₂）-g（x₁）|＜8|x₂-x₁|；
（Ⅲ）當b≤

16 3

9

時，請判斷曲線f（x）的所有切線中，斜率λ為正數時切線的條數，并說明理由．

設函數f（x）=ax²+e^x（a∈R）有且僅有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a滿足f（x₁）=e 

2

3

x₁？如存在，求f（x）的極大值；如不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=e^x-e^-x-2x．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=f（2x）-4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜

2

＜1.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）．

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），設直線l₁，l₂分別是曲線y=f（x）的兩條不同的切線．
（1）若函數f（x）為奇函數，且當x=1時f（x）有極小值為-4．
（i）求a，b，c，d的值；
（ii）若直線l₃亦與曲線y=f（x）相切，且三條不同的直線l₁，l₂，l₃交于點G（m，4），求實數m的取值范圍；
（2）若直線l₁∥l₂，直線l₁與曲線y=f（x）切于點B且交曲線y=f（x）于點D，直線l₂和與曲線y=f（x）切于點C且交曲線y=f（x）于點A，記點A，B，C，D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，求（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）的值．

A，B，C三人進行乒乓球比賽，優(yōu)勝者按以下規(guī)則決出：
（Ⅰ）三人中兩人進行比賽，勝出者與剩下的一人進行比賽，直到出現兩連勝者，則此兩連勝者唄判定為優(yōu)勝者，比賽結束；
（Ⅱ）在每次比賽中，無平局，必須決出勝負．
已知A勝B的概率是

2

3

，C勝A的概率是

1

2

，C勝B的概率是

1

3

，第一場比賽在A與C中進行
（1）分別求出第二場、第三場、第四場比賽后C為優(yōu)勝者的概率；
（2）記第3n-1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為p_n，第3n場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為q_n，第3n+1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為r_n，n∈N^*試求p_n，q_n，r_n．