已知數(shù)列滿足，且，．
⑴求數(shù)列的前三項(xiàng)，，；
⑵數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；
⑶求數(shù)列的前項(xiàng)和

對于數(shù)列,規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中;一般地，規(guī)定為的k階差分?jǐn)?shù)列，其中,且.(I)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式。試證明是等差數(shù)列;（II）若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;

對大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行

如下方式的“分裂”如右圖，仿此，5²的“分裂”
中最大的數(shù)是    ，若的“分裂”
中最小的數(shù)是21，則m的值為       ．

已知，，數(shù)列滿足，
，．
（I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（II）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

數(shù)列 的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，為等差數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，，
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求．

已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式; （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作。第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為
 
（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和；

(本小題滿分13分)已知數(shù)列中，,數(shù)列中，．（Ⅰ）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)的和．

(13分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1) 求證:為等差數(shù)列；  (2)求;  (3)若, 求

(12分)已知數(shù)列滿足,其中,函數(shù).
(1)若數(shù)列滿足,,求;  (2)若數(shù)列滿足.數(shù)列滿足,求證:.