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.(本題滿分16分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分，)

如圖，已知橢圓，，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線、的斜率分別為、，證明；

(3)是否存在常數，使得

恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

解(1)由題意知，橢圓中，，得，

又，所以可解得，，所以，

所以橢圓的標準方程為；分

所以橢圓的焦點坐標為(，0)，因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為．分

(2)設，則分

因為點在雙曲線上，所以分

因此   即分

(3)由于的方程為，將其代入橢圓方程得

由韋達定理得

∴分

    同理可得

    則，又

    ∴,

故

    即存在， 使恒成立．分

 

【解析】略

 

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本題滿分16分）兩個數列{an}，{bn}，滿足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數列的充要條件是{an}為等差數列．

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(本題滿分16分)本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分．

已知函數（，、是常數，且），對定義域內任意（、且），恒有成立．

（1）求函數的解析式，并寫出函數的定義域；

（2）求的取值范圍，使得．

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 ．（1）求數列的通項公式；（2）若存在常數使數列是等比數列，求數列的通項公式；（3）求證：①；②．

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（本題滿分16分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第三小題6分）

已知函數

（1）判斷并證明在上的單調性；

（2）若存在，使，則稱為函數的不動點，現已知該函數有且僅有一個不動點，求的值；

（3）若在上恒成立 , 求的取值范圍．

 

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