Question

已知函數(shù)f(x)=

bx-5

x+a

（x≠-a，a、b是常數(shù)，且ab≠-5），對定義域內(nèi)任意x（x≠-a、x≠-a-3且x≠a+3），恒有f（3+x）+f（3-x）=4成立．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）求x的取值范圍，使得f（x）∈[0，2）∪（2，4]．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，可以根據(jù)函數(shù)賦值的概念和分式的整理，來解決．
（2）用定義域的概念，或者函數(shù)的單調(diào)性來求解，也可以根據(jù)反函數(shù)的概念來解決本題．

解答：解：（1）∵f(x)=

bx-5

x+a

=b-

ab+5

x+a

(ab≠-5)，f(3+x)+f(3-x)=4，
∴b-

ab+5

3+a+x

+b-

ab+5

3+a-x

=4，即(2b-4)-(ab+5)

2a+6

(3+a+x)(3+a-x)

=0
對使等式有意義的任意x恒成立．（4分）
∴

2a+6=0 2b-4=0

，

a=-3 b=2

．（6分）
于是，所求函數(shù)為f(x)=

2x-5

x-3

，
定義域為（-∞，3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）∵f(x)=

2x-5

x-3

=2+

1

x-3

(x≠3)，f（x）∈[0，2）∪（2，4]，
∴0≤f（x）＜2或2＜f（x）≤4，
即0≤2+

1

x-3

＜2或2＜2+

1

x-3

≤4．（10分）
解不等式0≤2+

1

x-3

＜2，得x≤

5

2

；
解不等式2＜2+

1

x-3

≤4，得x≥

7

2

．（14分）
∴當x∈(-∞，

5

2

]∪[

7

2

，+∞)時，f（x）∈[0，2）∪（2，4]．（16分）

點評：（1）本題綜合考查函數(shù)解析式的求法，除了分式的整理還需要掌握函數(shù)的基本知識．
（2）本題考查了函數(shù)定義域和值域的運用，同時考查了不等式的計算，一定要從函數(shù)的基本性質(zhì)入手．