Question

如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且．

（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）略

(I)由于圓與軸相切于點(diǎn), 所以圓心坐標(biāo)為,然后根據(jù)
建立關(guān)于r的方程求出r值，圓的標(biāo)準(zhǔn)確定.
(2)將y=0代入圓的方程求出M,N的坐標(biāo)，然后再分兩種情況證明.
(i) 當(dāng)軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可知.
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為．證明,然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立借助韋達(dá)定理來解決即可
（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為（），依題意，圓心坐標(biāo)為．∵　∴　，解得． 3分∴　圓的方程為． 5分
（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即點(diǎn)，．
（1）當(dāng)軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可知． 7分
（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立方程，消去得，．········ 8分
設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，則，．
∵　，∴　
．
∵，
∴　，．綜上所述，．