Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點(

a

n，an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x²+1的圖象上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=0，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=2a_nb_n（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）把點(

an

，an+1)代入二次函數(shù)解析式，整理后得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出公差，則其通項公式可求．在把數(shù)列{a_n}的通項公式代入bn+1=bn+3an，整理后得到數(shù)列{b_n}的遞推式，利用類加法求{b_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式代入c_n=2a_nb_n，整理后先分組，然后利用錯位相減法求和．

解答：解：（1）∵點(

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上，
∴an+1=(

an

)2+1，即a_n+1-a_n=1．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
則a_n=1+1×（n-1）=n．
∴bn+1=bn+3an=bn+3n，bn+1-bn=3n．
又b₁=0．
∴當(dāng)n≥2時，
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=0+3+3²+3³+…+3^n-1=

3(1-3n-1)

1-3

=

3n

2

-

3

2

．
此時對n=1時成立．
∴bn=

3n

2

-

3

2

；
（2）由c_n=2a_nb_n=2n（

3n

2

-

3

2

）=n•3ⁿ-3n．
∴Sn=(1•31+2•32+…+n•3n)-3(1+2+3+…+n)
=(1•31+2•32+…+n•3n)-

3n(n+1)

2

．
令Tn=1•31+2•32+…+n•3n①
3Tn=1•32+2•33+…+(n-1)•3n+n•3n+1②
①-②得：-2Tn=3+32+…+3n-n•3n+1．
∴Tn=

(2n-1)•3n+1+3

4

．
∴Sn=

(2n-1)•3n+1+3

4

-

3n(n+1)

2

．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差關(guān)系的確定和等差數(shù)列的通項公式，等比關(guān)系的確定和等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了分組求和及錯位相減法求和，是中檔題．