Question

（本小題滿分12分）已知圓，直線

（1） 求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點A、B；

（2） 求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；

（3） 若定點P（1，1）滿足，求直線的方程。

Answer 1

（1）證明見解析；（2），為圓的軌跡方程；（3）或；

【解析】

試題分析：（1）由題可知，判斷直線與圓的位置關系，我們常采取兩種方法，圓心到直線的距離與半徑的比較，若距離大于半徑，則位置關系是相離，若距離等于半徑，則位置關系是相切，若距離小于半徑，則位置關系是相交；或是判斷直線所經(jīng)過的定點和圓的關系，點在圓內(nèi)，則位置關系是相交，點在圓上，則位置關系是相切，點在圓外，則位置關系是相離；（2）關于求軌跡方程的問題，求哪個點的軌跡就設哪個點的坐標，通過題中的條件將x，y的關系式求出，即得軌跡方程；（3）過一點的直線用點斜式設出，再和圓的方程聯(lián)立，由韋達定理以及，得出直線方程為或；

試題解析：（Ⅰ）解法一：圓的圓心為，半徑為。

∴圓心C到直線的距離，∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；

方法二：∵直線過定點，而點在圓內(nèi)∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；（4分）

（Ⅱ）當M與P不重合時，連結CM、CP，則，又因為

,

設，則，

化簡得：

當M與P重合時，也滿足上式。

故弦AB中點的軌跡方程是。（8分）

（Ⅲ）設，，由，

∴，化簡的 ①

又由消去y得 （*）

∴ ② （10分）

由①②解得，帶入（*）式解得，

∴直線的方程為或。（12分）

考點：?直線與圓的位置關系?中點軌跡方程?直線方程的應用