已知拋物線x2=2py上點(2,2)處的切線經(jīng)過橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的兩個頂點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓E的上頂點A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B、C兩點.請問:是否存在一點D,使得直線BC恒過該點?若存在,請求出定點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,過點A作直線BC的垂線,垂足為H,求點H的軌跡方程.
(1)將(2,2)代入x2=2py,得4=4p,所以p=1,故拋物線方程為x2=2y.
y=
1
2
x2

y對x求導(dǎo)得y=x,所以拋物線x2=2y上點(2,2)處的切線的斜率為y|x=2=2.
所以拋物線在點(2,2)處的切線方程為y-2=2(x-2),即y=2x-2.
它與兩坐標(biāo)軸的交點分別為(1,0),(0,-2).
由題意可知,a=2,b=1.
所以橢圓E的方程分別為
y2
4
+x2=1
;
(2)假設(shè)直線BC恒過定點D.
設(shè)直線AB的斜率kAB=k1,直線AC的斜率kAC=k2,則k1k2=-4.
從而直線AB的方程為y=k1x+2.
聯(lián)立
y2
4
+x2=1
y=k1x+2
,整理得(k12+4)x•(x+
4k1
k12+4
)=0

從而點B的橫坐標(biāo)xB=-
4k1
k12+4
,yB=k1•(-
4k1
k12+4
)+2=
2(4-k12)
k12+4

所以點B的坐標(biāo)為(-
4k1
k12+4
,
2(4-k12)
k12+4
)

同理點C的坐標(biāo)為(-
4k2
k22+4
2(4-k22)
k22+4
)

于是,xB=-
4k1
k12-k1k2
=
4
k2-k1
yB=
2(-k1k2-k12)
k12-k1k2
=
2(k2+k1)
k2-k1

xC=-
4k2
k22-k1k2
=
4
k1-k2
,yC=
2(-k1k2-k22)
k22-k1k2
=
2(k1+k2)
k1-k2

所以點B,C均在直線y=
k1+k2
2
x
上.
而兩點確定一條直線,所以直線BC的方程為y=
k1+k2
2
x
,即y=
k12-4
2k1
x

所以BC恒過定點D(0,0);
(3)設(shè)H(x,y),由(2)知,∠AHO=90°,
所以
AH
OH
=0

又因為
AH
=(x,y-2),
OH
=(x,y)
,
所以有x2+y(y-2)=0,即x2+(y-1)2=1.
所以H的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(去掉點(0,2)).
練習(xí)冊系列答案
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p
,p)作△MAB,A、B兩均在拋物線上.過M作x軸的平行線,交拋物線于點N.
(I)若MN平分∠AMB,求證:直線AB的斜率為定值;
(II)若直線AB的斜率為
p
,且點N到直線MA,MB的距離的和為4p,試判斷△MAB的形狀,并證明你的結(jié)論.

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已知拋物線x2=2py(p>0),過點向拋物線引兩條切線,A、B為切點,則線段AB的長度是

[  ]
A.

2p

B.

p

C.

D.

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(1)求a的取值范圍;

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 已知拋物線x2 = 2py (p > 0),過點M (0 , - )向拋物線引兩條切線,A、B為切點,則線段

AB的長度是

A.2p

B.p

C.

D.

 

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