Question

設(shè)S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和且Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1．
（1）求a_n；  
（2）若bn=2n求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，a₁=S1= 

1

2

a12+

1

2

a1-1，n≥2時(shí)，Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的和．

解答：解：（1）由已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}
n=1時(shí)，a₁=S1= 

1

2

a12+

1

2

a1-1，解得a₁=2
n≥2時(shí)，∵Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1①
∴Sn-1= 

1

2

an-12+

1

2

an-1-1②
①-②可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ③
∴2T_n=2×2²+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹④
④-③可得T_n=-2×2¹-2²-…-2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-4-

4(1-2n-1)

1-2

+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n•2^n-1
∴T_n=n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和是關(guān)鍵．