Question

如圖，函數(shù)f（x）=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤

π

2

）的圖象與y軸相交于點（0，

3

），且該函數(shù)相鄰兩零點距離為

π

2

．
（Ⅰ）求θ和ω的值；
（Ⅱ）若f（

1

2

x-

π

12

）=

8

5

，x∈（0，π），求

sinx+sin2x

1+cosx+cos2x

值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求出ω，由特殊點的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用三角恒等變換可得要求的式子為tanx，由條件求得cosx的值，結(jié)合x的范圍，求得tanx的值．

解答： 解：（1）由題意可得T=

2π

ω

=2×

π

2

，∴ω=2．將x=0，y=

3

代入函數(shù)f（x）=2cos（2x+θ）得cosθ=

3

2

，
因為0≤θ≤

π

2

，所以 θ=

π

6

，∴f（x）=2cos（2x+

π

6

）．
（2）∵

sinx+sin2x

1+cosx+cos2x

=

sinx(1+2cosx)

cosx+2cos2x

=tanx，
又f(

1

2

x-

π

12

)=

8

5

，由（1）可知 2cos[2(

x

2

-

π

12

)+

π

6

]=2cosx=

8

5

⇒cosx=

4

5

，
又x∈（0，π），∴x∈(0，

π

2

)，∴tanx=

3

4

，即

sinx+sin2x

1+cosx+cos2x

=

3

4

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖
求出φ的值，屬于基礎(chǔ)題．