Question

（2011•重慶模擬）設函數f（x）=（x-2）²+blnx，其中b為常數．
（Ⅰ）若函數f（x）在定義域上單調遞增，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若b≤0，求函數f（x）的極值點；
（Ⅲ）當b=-6時，利用函數f（x）的性質證明：對任意大于1的正整數n，不等式

1

6n2

-

1

6

＜ln(2n+1)-lnn＜

1

6n2

-

1

6

+ln3恒成立．

Answer 1

分析：（1）先由負數沒有對數得到f（x）的定義域，求出f（x）的導函數，根據b大于 2得到導函數大于0，所以函數在定義域內單調遞增；
（2）令f（x）的導函數等于0，求出此時方程的解即可得到x的值，根據d小于等于0舍去不在定義域范圍中的解，得到符合定義域的解，然后利用這個解把（0，+∞）分成兩段，討論導函數的正負得到函數f（x）的增減性，根據f（x）的增減性即可得到函數的唯一極小值為這個解；
（3）由b=-6，代入f（x）的解析式中確定出f（x），并根據（2）把b的值代入求出的唯一極小值中求出值為 3，得到函數的遞減區(qū)間為（0，3），根據當n＞1時，2＜2+

1

n

＜3，利用函數為減函數恒有 f(2)＜f(2+

1

n

)＜f(3)，化簡得證．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=2x-4+

b

x

=

2x2-4x+b

x

=

2(x-1)2+b-2

x

(x＞0)．
∴當 b＞2時，f′（x）＞0，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）令 f′(x)=2x-4+

b

x

=

2x2-4x+b

x

=0，
得 x1=1-

4-2b

2

，x2=1+

4-2b

2

．
當b≤0時，x1=1-

4-2b

2

≤0∉（0，+∞）（舍去），
而 x2=1+

4-2b

2

≥ 1∈（0，+∞），
此時：f′（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：
由此表可知：∵b≤0時，f（x）有惟一極小值點 x2=1+

4-2b

2

；
（3）由（2）可知當b=-6時，函數f（x）=（x-2）²-6lnx，此時f（x）有惟一極小值點：x=3，
且 x∈（0，3）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）為減函數．
∵當n＞1時，2＜2+

1

n

＜3，
∴恒有 f(2)＜f(2+

1

n

)＜f(3)，
∴當n＞1時，恒有不等式

1

6n2

-

1

6

＜ln(2n+1)-lnn＜

1

6n2

-

1

6

+ln3成立．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調性，并根據函數的單調性得到函數的極值，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題．學生做題時應注意找出函數的定義域．第三問的突破點是令b=-6，然后利用增減性進行證明．