Question

設(shè)向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)．x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）若|

a

|=|

b

|，求x的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量模的公式算出|

a

|2、|

b

|2，由|

a

|=|

b

|建立關(guān)于x的等式，結(jié)合x∈[0，

π

2

]即可解出實數(shù)x的值；
（II）根據(jù)向量數(shù)量積公式和三角恒等變換公式，化簡得f(x)=

a

•

b

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，再由x∈[0，

π

2

]利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可得|

a

|2=(

3

sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|

b

|2=(cosx)2+(sinx)2=1．
∵|

a

|=|

b

|，∴4sin²x=1，
又∵x∈[0，

π

2

]，可得sinx=

1

2

（舍負），∴x=

π

6

．
（Ⅱ）f(x)=

a

•

b

=

3

sinx•cosx+sin2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，函數(shù)f（x）有最大值f(x)max=

3

2

，
當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，函數(shù)f（x）有最小值f（x）_min=0．
綜上所述，函數(shù)f（x）的值域為[0，

3

2

]．

點評：本題給出向量

a

、

b

含有三角函數(shù)式的坐標，求函數(shù)f(x)=

a

•

b

在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．著重考查了向量數(shù)量積公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．