Question

已知0≤θ≤

π

2

，回答以下問題：
（1）若sinθ+cosθ=t，求t的取值范圍；
（2）將sinθ•cosθ用t表示．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡后，再由θ的范圍求出θ+

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ進(jìn)行化簡后，再用t表示出來．

解答：解：（1）∵0≤θ≤

π

2

，
∴

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
∴t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
故t的取值范圍是區(qū)間[1，

2

]；
（2）∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ
∴sinθ•cosθ=

1

2

[(sinθ+cosθ)2-1]=

1

2

(t2-1)，t∈[1，

2

]．

點評：本題考查了三角函數(shù)的變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，需要根據(jù)兩角和差的正弦（余弦）公式，或根據(jù)同角的基本關(guān)系進(jìn)行化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．