已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
2
-x)+2
3
sin（π-x）cosx，
（1）求函數(shù)f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA．
分析：（1）利用三角函數(shù)的降冪公式與倍角公式，輔助角公式將函數(shù)f(x)=2sin2(
π
2
-x)+2
3
sin（π-x）cosx轉(zhuǎn)化為：
y=2sin（2x+
π
6
），由x∈[-
π
6
，
π
3
]⇒2x+
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得函數(shù)f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的值域；
（2）由f(C)=2sin(2C+
π
6
)+1=2，0＜C＜π⇒C=
π
3
；2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）⇒sinB=sinAsinC
?sin（A+C）=sinAsinC，展開整理即可求得tanA．
解答：解：化簡(jiǎn)函數(shù)為：f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1，
（1）當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時(shí)，2x+
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，
∴sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
， 1]，2sin（2x）+1∈[0，3]，即f（x）∈[0，3]；
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，3]．
（2）由條件知f(C)=2sin(2C+
π
6
)+1=2，
即：sin(2C+
π
6
)=
1
2
，0＜C＜π，所以C=
π
3
，
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC），
∴sinB=sinAsinC，由C=
π
3
，A+B+C=π可得：
sin（A+C）=
3
2
sinA，即sinAcosC+cosAsinC=
3
2
sinA，
所以：
1
2
tanA+
3
2
=
3
2
tanA，
解得：tanA=
3
+3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，（1）中難點(diǎn)在于由x∈[-
π
6
，
π
3
]⇒2x+
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)予以解決，（2）著重考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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