Question

函數(shù)y=|cos2x|+|cosx|的值域為

1. A.
   [，2]
2. B.
   [，2]
3. C.
   [，]
4. D.
   [，2]

Answer 1

B
分析：把函數(shù)解析式第一個絕對值里邊的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，設(shè)|cosx|=t，把函數(shù)解析式化為關(guān)于t的關(guān)系式，分兩種情況討論絕對值里邊式子的正負(fù)來化簡絕對值，當(dāng)≤t≤1時，根據(jù)正數(shù)的絕對值等于它本身化簡函數(shù)解析式，配方后，得到此時函數(shù)單調(diào)遞增，求出此時函數(shù)的最大值及最小值，得到y(tǒng)的范圍；當(dāng)0≤t≤時，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)化簡函數(shù)解析式，配方后，根據(jù)t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值及最小值，得到y(tǒng)的范圍，綜上，求出y的兩范圍的并集即可得到原函數(shù)的值域．
解答：函數(shù)y=|cos2x|+|cosx|=|2cos²x-1|+|cosx|
設(shè)|cosx|=t≥0，則函數(shù)y=|2t²-1|+t，
（i）當(dāng)≤t≤1時，2t²-1≥0，
∴函數(shù)y=|2t²-1|+t=y=2t²+t-1=2（t+）²-，
當(dāng)≤t≤1時，函數(shù)單調(diào)遞增，
此時當(dāng)t=時，函數(shù)取得最小值，當(dāng)t=1時，函數(shù)取得最大值2，
∴≤y≤2；
（ii）當(dāng)0≤t≤時，2t²-1≤0，
∴函數(shù)y=|2t²-1|+t=y=-2t²+t+1=-2（t-）²+，
此時當(dāng)t=時，函數(shù)取得最大值，當(dāng)t=時，函數(shù)取得最小值，
∴≤y≤，
綜上，函數(shù)y=|cos2x|+|cosx|的值域為[，2]．
故選B
點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，絕對值的代數(shù)意義，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題的思路是：利用二倍角的余弦函數(shù)公式把函數(shù)解析式化簡后，設(shè)出t=|cosx|，把函數(shù)解析式化為關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)絕值的代數(shù)意義分情況討論t的取值來化簡絕對值，確定出函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出相應(yīng)y的取值范圍，得出函數(shù)的值域．