Question

已知函數f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）當m=5時，求函數f（x）的定義域；
（2）若關于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題設知：當m=5時：|x+1|+|x-2|＞5，
不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集：
，或，或，
解得函數f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（3，+∞）；
（2）不等式f（x）≥1即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|＞m+2解集是R，
∴m+2＜3，m的取值范圍是（-∞，1）．
故答案為（-∞，1）．
分析：對于（1）當m=5時，求函數f（x）的定義域．根據m=5和對數函數定義域的求法可得到：|x+1|+|x-2|＞5，然后分類討論去絕對值號，求解即可得到答案．
對于（2）由關于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x-2|＞m+2．因為已知解集是R，根據絕對值不等式可得到|x+1|+|x-2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．
點評：此題主要考查絕對值不等式的應用問題，題中涉及到分類討論的思想，考查學生的靈活應用能力，屬于中檔題目．