Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)，使得在上的最大值為，若存在，求滿足條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1個

【解析】試題分析：（1）求導數(shù)可得，對a進行分類討論得：①當時， 在上單調(diào)遞增，②當或時， 在上單調(diào)遞減，③當且時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。（2）結(jié)合（1）可得當時， ，故有，即，可判斷方程只有1個實數(shù)解，所以存在滿足條件的實數(shù)a，且只有1個。

試題解析：

（1）∵，

∴，

①當時， 在上單調(diào)遞增。

②當，即或時， ，

∴在上單調(diào)遞減。

③當且時，

由 得.

令得；令得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當時， 在上遞增；

當或時， 在上遞減；

當且時， 在上遞增，在上遞減.

（2）易知，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴ 當時， 有極大值，也為最大值，且

由題意得 ，

即，

設，易知為增函數(shù)，且，

∴的唯一零點在上，

∴ 方程有唯一解，

∴ 存在實數(shù)滿足條件，且實數(shù)的個數(shù)為1個.