Question

設平面向量=（，-1），=（，）．若存在實數(shù)m（m≠0）和角，使向量=+（tan²θ-3），=-m+tanθ，且⊥．
（I）求函數(shù)m=f（θ）的關系式；　
（II）令t=tanθ，求函數(shù)m=g（t）的極值．

Answer 1

解：（I）∵向量=（，-1），=（，），
∴向量=（+（tan²θ-3），-1+（tan²θ-3））=（tan²θ+-，tan²θ-1-）
向量=（-m+tanθ，m+tanθ）
∵且⊥，
∴•=0，即（tan²θ+-）（-m+tanθ）+（tan²θ-1-）（m+tanθ）=0
化簡整理，得，即為函數(shù)m=f（θ）的關系式．
（II）設tanθ=t，得
求導得，令g'（t）=0，得t₁=-1，t₂=1
當t∈（-∞，-1），g'（t）＞0，g（t）為增函數(shù)；當t∈（-1，1）時，g'（t）＜0，g（t）為減函數(shù)；
當t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，g（t）為增函數(shù)．
所以當t=-1，即時，m=g（t）有極大值；當t=1，即時，m=g（t）有極小值．
分析：（I）根據(jù)向量、的坐標算出向量、的坐標，由⊥得與的數(shù)量積為0，由此建立關于m和θ的關系式，化簡整理既得函數(shù)m=f（θ）的關系式；
（II）設tanθ=t，由（I）得m是關于t的三次多項式函數(shù)，求出導數(shù)并討論導數(shù)的正負，可得當t＜-1或t＞1時導數(shù)為正數(shù)，當-1＜t＜1時導數(shù)為負數(shù)，由此即可得到函數(shù)的極大值、極小值，以及相應的θ值．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標形式，求參數(shù)m關于θ的函數(shù)關系式，并求函數(shù)的極值，著重考查了向量數(shù)量積運算和運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等知識，屬于中檔題．