Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SCD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AD=2

3

，且SA=SD=

39

．二面角S-AD-B大小為120°
（1）求∠ADC的大��；
（2）求二面角A-SD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過(guò)S作SO⊥平面ABCD，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，取AD中點(diǎn)E，再連接OA，BD，SE，OE，由已知條件∠SEO=60°，SE=

39-3

=6，OE=3，AO=DO=2

3

，由此能求出∠ADC=120°．
（2）由（1）知O、E、B共線(xiàn)，過(guò)A作AF⊥OD，則AF⊥平面SOD，作AN⊥SD，并且交SD與點(diǎn)N，連FN，由此∠FNA為二面角A-SD-O的平面角，由此能求出二面角A-SD-C的平面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵四棱錐S-ABCD中，平面SCD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，
∴過(guò)S作SO⊥平面ABCD，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，
取AD中點(diǎn)E，再連接OA，BD，SE，OE，
∵AD=2

3

，且SA=SB=

39

．二面角S-AD-B大小為120°
∴∠SEO=60°，SE=

39-3

=6，OE=3，AO=DO=2

3

，
∴∠ADO=60°，∴∠ADC=120°．
（2）由（1）知O、E、B共線(xiàn)，
過(guò)A作AF⊥OD，則AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD與點(diǎn)N，連FN，
∴由三垂線(xiàn)定理可得：FN⊥SD，
∴根據(jù)二面角的平面角的定義可得：∠FNA為二面角A-SD-O的平面角，
由題意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根據(jù)等面積可得：

1

2

×AD×SE=

1

2

×SD×AN，
即

1

2

×2

3

×6=

1

2

×

39

×AN，
所以AN=

12 3

39

=

12 13

13

，
所以sin∠FNA=

AF

AN

=

3

12 3 13

=

13

4

．
故二面角A-SD-C的平面角的正弦值為

13

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的大小的求法，考查二面角的平面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．