考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)把點(diǎn)P
n(n,S
n)代入函數(shù)f(x)=x
2+2x,得到數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和,分別取n=1,2求得a
1,a
2;
(2)直接由a
n=S
n-S
n-1(n≥2)求出數(shù)列通項(xiàng),驗(yàn)證a
1后得答案;
(3)把(2)中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入b
n=
,利用裂項(xiàng)相消法求和后證明不等式T
n<
.
解答:
(1)解:∵點(diǎn)P
n(n,S
n)都在函數(shù)f(x)=x
2+2x的圖象上,
∴
Sn=n2+2n(n∈N*),
∴a
1=S
1=3,
又
a1+a2=S2=22+2×2=8,
∴a
2=5;
(2)解:由(1)知,
Sn=n2+2n(n∈N*),
當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-1=2n+1.
由(1)知,a
1=3=2×1+1滿足上式,
∴數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式為a
n=2n+1;
(3)證明:由(2)得,
bn==[-]∴T
n=b
1+b
2+…+b
n=
[-+-+…+-]=
[-]=
-<.
點(diǎn)評:本題是數(shù)列與不等式的綜合題,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,訓(xùn)練了利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式,考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,體現(xiàn)了放縮法證明不等式的解題思想,是中高檔題.