已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

(1);(2)

解析試題分析：本小題主要通過對直線與圓錐曲線中橢圓的綜合應用的考查，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關知識與圓錐曲線的綜合知識，提示考生對圓錐曲線的綜合題加以重視，本題主要考查考生的推理論證能力，運算求解能力、化歸與轉化以及數(shù)形結合的數(shù)學思想.（1）利用方程思想和幾何性質，得到含有的兩個等量關系，進而利用待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）通過直線與方程聯(lián)立，借助韋達定理和弦長公式將進行表示為含有的函數(shù)關系式，利用換元法和二次函數(shù)求值域的思路尋求范圍.
試題解析：(1)由幾何性質可知：當內切圓面積取最大值時，
即取最大值，且.
由得
又為定值，，
綜上得；
又由，可得，即，
經(jīng)計算得，，，
故橢圓方程為.                                                (5分)
(2) ①當直線與中有一條直線垂直于軸時，.
②當直線斜率存在但不為0時，設的方程為：，由消去可得，代入弦長公式得： ，
同理由消去可得，
代入弦長公式得：，
所以
令，則，所以，
由①②可知，的取值范圍是.                     (12分)
考點：(1)橢圓方程；（2）直線與橢圓的位置關系；（3）函數(shù)的值域.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為，且經(jīng)過點,為橢圓上的動點，以為圓心，為半徑作圓.
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓與軸有兩個交點，求點橫坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的周長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于、兩點，若（為坐標原點），求證：直線與圓相切.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，求的值；
（3）直線交橢圓于兩不同點，在軸的射影分別為，，若點滿足，證明：點在橢圓上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知焦點在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標為，設直線（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定點，，動點到定點距離與到定點的距離的比值是.
（Ⅰ）求動點的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當時，記動點的軌跡為曲線.
①若是圓上任意一點，過作曲線的切線，切點是，求的取值范圍；
②已知，是曲線上不同的兩點，對于定點，有.試問無論，兩點的位置怎樣，直線能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的離心率為，是其左右頂點，是橢圓上位于軸兩側的點（點在軸上方），且四邊形面積的最大值為4．

（1）求橢圓方程；
（2）設直線的斜率分別為，若，設△與△的面積分別為，求的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

直線與橢圓相交于，兩點，為坐標原點.
（Ⅰ）當點的坐標為，且四邊形為菱形時，求的長；
（Ⅱ）當點在上且不是的頂點時，證明：四邊形不可能為菱形.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案