Question

已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，公比q=

S2

b2

＞0，且b₂+S₂=12，
（1）求a_n與b_n；
（2）求和：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）求a_n與b_n由a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)b₁=1，公比q=

S2

b2

＞0，且b₂+S₂=12這些條件聯(lián)立方程組求出兩個數(shù)列的公比與公差，結(jié)合相應(yīng)的通項(xiàng)公式即可求出兩個數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）首先要求出等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對其倒數(shù)的形式進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)可用裂項(xiàng)求和的方法求其各項(xiàng)的倒數(shù)和．

解答：解：（1）由

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，解得q=3或q=-4（舍去）（2分）a₂=6，d=a₂-a₁=3，（4分）
∴a_n=3+（n-1）3=3n，b_n=3^n-1；（6分）
（2）∵Sn=

n(3+3n)

2

，（8分）∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查利用數(shù)列的性質(zhì)及所給的等式建立方程求通項(xiàng)以及對裂項(xiàng)求和的技巧，本題中裂項(xiàng)時注意恒等變形．