Question

（1）設拋物線y²=4x截直線y=2x+k所得的弦長為3

5

，求k的值．
（2）以本題（1）得到的弦為底邊，以x軸上的點P為頂點做成三角形，當這三角形的面積為9時，求P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出交點坐標，聯(lián)立直線和拋物線的方程

y2=4x y=2x+k

，整理，由韋達定理，算出（x₁-x₂）²，（y₁-y₂）²，再有兩點間距離公式計算出弦長．求出k．
（2）設出P點坐標，由點p到直線的距離求出三角形的高，再由面積公式代入求解，即得．

解答：解：（1）設直線與拋物線的交點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
解方程組：

y2=4x y=2x+k

，得（2x+k）²=4x，
即4x²+4（k-1）x+k²=0，
故有x₁+x₂=1-k，x₁x₂=

k2

4

．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=(1-k)2-4•

k2

4

=1-2k．
又因P₁，P₂在直線y=2x+k上，故
（y₁-y₂）²=4（x₁-x₂）²=4（1-2k）．
根據(jù)題設條件

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=3

5

，
即（1-2k）+4（1-2k）=45，解得：k=-4．

（2）設x軸上一點P的坐標為（a，0）又點P到直線P₁P₂的距離為h，則有h=

|2a-4|

5

．
依題意得△PP₁P₂的面積關系：9=

1

2

•3

5

•

|2a-4|

5

，即6=|2a-4|，
∴a=5，a=-1．

點評：“設而不求”仍是圓錐曲線問題的常用方法，在第一題的處理中，也可直接用弦長公式l_AB=

1+k2

|x₁-x₂|．