Question

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．

(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；

(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC，并分別求出點N到AB和AP的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一　(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 　　則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、P(0，0，2)、E(0，，1)，從而＝(，1，0)，＝(，0，－2)． 　　設(shè)與的夾角為，則cos＝＝＝， 　　∴AC與PB所成角的余弦值為　7分 　　(2)由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為(x，0，z)，則＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得 　　，即，化簡得，∴ 　　即N點的坐標(biāo)為(，0，1)， 　　從而N點到AB、AP的距離分別為1，　14分 　　方法二　(1)設(shè)AC∩BD＝O， 　　連接OE，AE，BD，則OE∥PB， 　　∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角． 　　在△AOE中，AO＝1，OE＝PB＝，AE＝PD＝， 　　∴由余弦定理得cos∠EOA＝， 　　即AC與PB所成角的余弦值為． 　　(2)在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則∠ADF＝．連接PF，則在Rt△ADF中，DF＝＝，AF＝AD·tan∠ADF＝． 　　設(shè)N為PF的中點，連接NE，則NE∥DF． 　　∵DF⊥AC，DF⊥PA， 　　∴DF⊥平面PAC，從而NE⊥平面PAC． 　　∴N點到AB的距離為AP＝1，N點到AP的距離為AF＝．