Question

【題目】已知圓O：x2+y2=2，直線．l：y=kx-2．

（1）若直線l與圓O相切，求k的值；

（2）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB為銳角時，求k的取值范圍；

（3）若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC，PD，切點為C，D，探究：直線CD是否過定點．

Answer 1

【答案】（1）k=±1；（2）（-）∪（1，）；（3）直線CD過定點（）．

【解析】

（1）由直線l與圓O相切，得圓心O（0，0）到直線l的距離等于半徑r=，由此能求出k．

（2）設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），將直線l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判斷式、向量的數量積公式能求出k的取值范圍．

（3）由題意知O，P，C，D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設P（t，），其方程為，C，D在圓O：x2+y2=2上，求出直線CD：（x+）t-2y-2=0，聯立方程組能求出直線CD過定點（）．

解：（1）∵圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx-2．直線l與圓O相切，

∴圓心O（0，0）到直線l的距離等于半徑r=，

即d==，

解得k=±1．

（2）設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

將直線l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，

∴，，

△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，

當∠AOB為銳角時，

=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）

=

=＞0，

解得k2＜3，

又k2＞1，∴-或1＜k＜．

故k的取值范圍為（-）∪（1，）．

（3）由題意知O，P，C，D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，

設P（t，），其方程為x（x-t）+y（y）=0，

∴，

又C，D在圓O：x2+y2=2上，

兩圓作差得lCD：tx+，即（x+）t-2y-2=0，

由，得，

∴直線CD過定點（）．