Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4ln（x-1），a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知點P（1，1）和函數(shù)f（x）圖象上動點M（m，f（m）），對任意m∈[2，e+1]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，再令導數(shù)等于0，解導數(shù)大于0得函數(shù)的增區(qū)間，解導數(shù)小于0得函數(shù)的減區(qū)間．（2）可將問題轉化為在[2，c+1]上f（x）＜1恒成立問題，即在[2，c+1]上f（x）_max＜1．先求導f′(x)=2ax-

4

x-1

=

2(ax2-ax-2)

x-1

，因為x∈[2，c+1]，故可只討論分子的正負問題，不妨令g（x）=ax²-ax-2，討論g（x）在區(qū)間[2，c+1]上的正負問題，同時注意對a的討論．根據(jù)導數(shù)正得增區(qū)間導數(shù)負得減區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-4ln（x-1），x∈（1，+∞），
∴f（x）=2x-

4

x-1

=

2x2-2x-4

x-1

=

2(x+1)(x-2)

x-1

，
令f′（x）=0，解得：x=2，
∴a=1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（2，+∞），單調遞減區(qū)間為（1，2）．
（2）∵對任意m∈[2，e+1]，直線PM的傾斜角都是鈍角，
∴對任意m∈[2，e+1]，直線PM的斜率小于0，
即

f(m)-1

m-1

＜0，f（m）＜1，
即f（x）在區(qū)間[2，e+1]上的最大值小于1，
f（x）=

2(ax2-ax-2)

x-1

，x∈（1，+∞），
令g（x）=aa²-ax-2
①當a=0時，f（x）=-4ln（x-1）在[2，e+1]上單調遞減，
f（x）_max=f（2）=0＜1，顯然成立，
∴a=0．
②當a＜0時，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向下，
且g（0）=-2，g（1）=-2，
?x∈（1，+∞），g（x）＜0，
故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，
故f（x）在[2，e+1]上單調遞減，f（x）max=f（2）=4a＜0，顯然成立，
∴a＜0．
（3）當a＞0時，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上，
且g（0）=-2，g（1）=-2．
所以?x₀∈（1，+∞），當x∈（1，x₀）時，g（x）＜0． 當x∈（x₀，+∞）時，g（x）＞0；
所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）內先遞減再遞增．
故f（x）在區(qū)間[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．
∴

f(2)＜1 f(e+1)＜1

，即：

4a＜1 a(e+1)2-4＜1

，
∴0＜a＜

1

4

．
綜上：a＜

1

4

．

點評：本題考察了用導數(shù)研究函數(shù)的性質；滲透了分類討論思想，本題是一道綜合題．