Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（2）若f（x）為奇函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，解不等式：f(log

1

4

x)+f(1)＞0．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=a-

2

2x+1

，知x∈R，利用定義法能證明f（x）在R上單調遞增．
（2）由函數f(x)=a-

2

2x+1

為奇函數，知f（0）=0，由此能求出a．
（3）由f（x）為奇函數，f(log

1

4

x)+f(1)＞0，知f（log

1

4

x）＞-f（1）=f（-1），由f（x）在R上單調遞增，知log

1

4

x＞-1，由此能求出不等式：f(log

1

4

x)+f(1)＞0的解．

解答：解：（1）函數f（x）是增函數．下用定義法證明：
∵f(x)=a-

2

2x+1

，∴x∈R，
在R內任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-（a-

2

2x2+1

）
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x）在R上單調遞增．
（2）∵函數f(x)=a-

2

2x+1

為奇函數，
∴f（0）=a-

2

20+1

=a-1=0，
解得a=1．
（3）∵f（x）為奇函數，f(log

1

4

x)+f(1)＞0，
∴f（log

1

4

x）＞-f（1）=f（-1），
∵f（x）在R上單調遞增，
∴log

1

4

x＞-1，解得0＜x＜4．
∴不等式：f(log

1

4

x)+f(1)＞0的解集為{x|0＜x＜4}．

點評：本題考查函數單調性的判斷，考查函數的奇偶性和單調性的應用，考查不等式的解法．解題時要認真審題，仔細解答．