Question

已知圓（x+2）²+y²=36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N（2，0）．線(xiàn)段AN的垂直平分線(xiàn)交MA于點(diǎn)P
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C．
（2）求過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為

5

3

的直線(xiàn)被C所截線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)P是AN的垂直平分線(xiàn)上的一點(diǎn)可知PA=PN，而AM=6進(jìn)而可知點(diǎn)P滿(mǎn)足PA+PN=6滿(mǎn)足橢圓的定義，故可知點(diǎn)p的軌跡是橢圓；
（2）直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵P是AN的垂直平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，
∴PA=PN，
又∵AM=6，
∴點(diǎn)P滿(mǎn)足PM+PN=PM+PA=6＞MN=4，
∴點(diǎn)P的軌跡為以M．N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，
∴P點(diǎn)軌跡方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為

5

3

的直線(xiàn)方程為y=

5

3

（x-2），
設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則
直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去y可得2x²-4x-5=0，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=

5

3

（x₁+x₂）-

4 5

3

=-

2 5

3

∴所得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

5

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．