【題目】已知橢圓方程為,射線
與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A,B兩點(異于M).
(1)求證:直線AB的斜率為定值;
(2)求面積的最大值。
【答案】(1)見解析;(2)。
【解析】
(1)先求出點,結(jié)合題意設(shè)直線MA的方程為
,解方程組得到
,同理得到
,進而得到
,為定值.(2)由(1)可設(shè)直線AB的方程為
,與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于
的方程,結(jié)合判別式可得
.再由(1)可得點
到直線AB的距離為
,
,
進而求得的面積,最后結(jié)合基本不等式可得所求.
(1)證明:由,解得
.
∴.
∵過M作的兩條直線斜率都存在,不防設(shè)直線MA的斜率為,且
,
則直線MA的方程為,
由消去
,
∴,
∴.
同理得直線MB的方程為,可得
.
∴,為定值.
(2)解:由(1)設(shè)直線AB的方程為,
由消去
整理得
,
∵直線AB與橢圓交于兩點,
∴,
解得.
又點到直線AB的距離為
,
=
.
設(shè)的面積為S,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即
時等號成立.
∴面積的最大值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠ABC=90°,,BC=1,
,∠ACD=60°,E為CD的中點.
(1)求證:BC∥平面PAE;
(2)求點A到平面PCD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面
是等邊三角形且垂直于底面
,底面
是矩形,
,
是
的中點.
(1)證明:平面
;
(2)點在棱
上,且直線
與直線
所成角的余弦值為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB=2a,F(xiàn)為CD的中點.
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)判斷平面BCE與平面CDE的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,
.
(1)求證:CF⊥平面BDE;
(2)求二面角A-BE-D的大小。
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【題目】已知函數(shù).
(1)若f (x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f (x)≤g(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),
,函數(shù)
.
(Ⅰ)設(shè)不等式的解集為C,當(dāng)
時,求實數(shù)
取值范圍;
(Ⅱ)若對任意,都有
成立,試求
時,
的值域;
(Ⅲ)設(shè),求
的最小值.
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【題目】已知橢圓:
,其離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短軸長為直徑的圓被直線
截得的弦長等于
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓
的左頂點,過點
的直線
與橢圓的另一個交點為
,與
軸相交于點
,過原點與
平行的直線與橢圓相交于
兩點,問是否存在常數(shù)
,使
恒成立?若存在,求出
;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
的圖像如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)
的最大值和最小值.
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