Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使方程f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，若函數(shù)f（x）存在不動(dòng)點(diǎn)x₀∈（-1，1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a、b代入函數(shù)，根據(jù)條件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)”建立方程解之即可；
（2）將b=2代入得到ax²+2x+1=0，令g（x）=ax²+2x+1，通過討論a=0，a≠0得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，f（x）=x²-x-3=x?x²-2x-3=0?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為x=3或x=-1．
（2）b=2時(shí)，f（x）=ax²+3x+1=x，
∴ax²+2x+1=0，
令g（x）=ax²+2x+1，
a=0時(shí)，令g（x）=0，解得：x=-

1

2

，符合題意，
a≠0時(shí)，由題意得：g（x）在（-1，1）上有零點(diǎn)，
∴g（-1）g（1）＜0，即（a-1）（a+3）＜0，解得：-3＜a＜1，且a≠0，
綜上：-3＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．