Question

已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點距離的倍；曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線.

(Ⅰ)求,的方程；

(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線,其中與相交于點,與相交于點,求四邊形面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ),；(Ⅱ).

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求 曲線，則設(shè)該曲線上某點，然后根據(jù)題目條件，得到關(guān)于的方程，再化簡即可得到.曲線可以根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得到，為拋物線焦點，從而得到；(Ⅱ)用點斜式設(shè)出的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，即可得到關(guān)于點坐標的方程.再根據(jù)韋達定理即得到的長度.由題意可設(shè)的方程為,代入可得關(guān)于點坐標的方程.再根據(jù)韋達定理即得到的長度.因為，從而四邊形的面積為，經(jīng)化簡，通過基本不等式即可得到四邊形面積的取值范圍為.

試題解析：(Ⅰ)設(shè)，則由題意有,化簡得:.

故的方程為，易知的方程為.                      4分

(Ⅱ)由題意可設(shè)的方程為,代入得,

設(shè),則,

所以.           7分

因為,故可設(shè)的方程為,代入得

,設(shè),則,

所以.   10分

故四邊形的面積為

()

設(shè)，因此

,當且僅當即等號成立.

故四邊形面積的取值范圍為.                                13分

考點：1.曲線與方程；2.拋物線的幾何性質(zhì)；3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；4.基本不等式；5.函數(shù)的單調(diào)性.